How to| 解方程

Mathematica 具有许多强大的功能,使您能够求解多种类型的方程.

可以用 Solve 求解一个方程. 在方程中要使用 "==",而不是 "=":

In[1]:=
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Out[1]=

结果是一个双嵌套列表内部的 Rule. 外层的列表将所有的解包括,而每一个内层列表包括一个单解. 这是方程的三个解:

In[2]:=
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Out[2]=

如要求解一个方程组,用一个列表作为第一个参数:

In[3]:=
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Out[3]=

这是一联立方程组的两个解;每个解集被包在自己的列表中:

In[4]:=
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Out[4]=

此处的解将一个变量用另外一个变量表示:

In[5]:=
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Out[5]=

如要使用其中的一个解(此处显示的是第一个解),使用 Part 的简写形式)将它从解的列表中提取出来,并使用 ReplaceAll 的简写形式)应用该规则:

In[6]:=
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Out[6]=

例如,这是 取不同 值时的图形,假定第一个解成立:

In[7]:=
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Out[7]=

在多变量的方程组中,可将一个列表用作第二个参数,求解部分或全部变量:

In[8]:=
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Out[8]=

对于欠定方程组,Mathematica 将把一个结果用其余变量表示:

In[9]:=
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Out[9]=

Solve 求的是方程所谓的通用解. 这些解只依赖于在第二个参数中指定的变量. 例如:

In[10]:=
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Out[10]=

不管 取何值, 为零就使方程得以求解. 但仍有另一个解取决于 : 即 为 0. 将 添加到第二个参数使得这个解出现:

In[11]:=
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Out[11]=

另外,还存在一些情形,Solve 不能得到每个解. 例如:

In[12]:=
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Out[12]=

您也可求解无理方程:

In[13]:=
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Out[13]=

请注意,在无理方程中 Solve 将舍掉寄生解. 如要查看所有的可能解,包括寄生解在内,需将 VerifySolutions 选项设置为 False

In[14]:=
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Out[14]=

检查解:

In[15]:=
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Out[15]=

也可使用 Reduce 求解方程:

In[16]:=
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Out[16]=

Reduce 的输出不同于 Solve 的输出:Reduce 输出的是一个等价于原方程的逻辑表达式,因此它不会漏掉任何一个解:

In[17]:=
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Out[17]=
In[18]:=
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Out[18]=
    

Mathematica 同样允许您得到方程的数值解.

例如,您可以将 N 用于 Solve 的输出,得到符号式解的数值近似:

In[19]:=
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Out[19]=
In[20]:=
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Out[20]=

也可使用 NSolve 直接得到数值解,这比结合使用 NSolve 的方法要快:

In[21]:=
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Out[21]=

NSolve 求解一个较为复杂的多项式方程:

In[22]:=
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In[23]:=
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Out[23]=

也可使用 NSolve 求方程组的数值解. 所用的语法与 Solve 的相同:

In[24]:=
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Out[24]=

如果您的方程只涉及线性方程或多项式,可以使用 NSolve 得到所有解的数值近似. 然而,如果方程涉及更加复杂的函数, 则一般没有系统化步骤可遵循来获得所有的解,即使是数值解也是如此. 这种时候,可以使用 FindRoot 来搜索解.

使用 FindRoot 搜索 的数值解,从1开始:

In[25]:=
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Out[25]=