BinormalDistribution

BinormalDistribution[{μ1,μ2},{σ1,σ2},ρ]
平均,共分散行列の二変量正規分布を表す.

BinormalDistribution[{σ1,σ2},ρ]
平均がゼロの二変量正規分布を表す.

BinormalDistribution[ρ]
平均がゼロで共分散行列がの二変量正規分布を表す.

詳細詳細

  • 二変量正規分布におけるベクトル の確率密度はに比例する.
  • BinormalDistributionでは, は任意の実数,は任意の正の実数,ρからまでの任意の数でよい.
  • BinormalDistributionは,MeanCDFRandomVariate等の関数とともに使うことができる.

予備知識
予備知識

  • BinormalDistribution[{μ1,μ2},{σ1,σ2},ρ]は,最初と2番目の境界分布(MarginalDistribution)のそれぞれがNormalDistributionである,つまり変数 および x1NormalDistribution[μ1,σ1]およびx2NormalDistribution[μ2,σ2]をそれぞれ満足するという特性を持つ,1組の実数上で定義された二変量(すなわち二変数)の統計分布を表す. 二変量正規分布は,したがって,平均ベクトルと呼ばれる1組の実数ペア,標準偏差ベクトルと呼ばれる1組の正の実数のペアの相関として知られるの1つの実数によってパラメータ化されている. ρ は,分布の同伴共分散行列 ,つまり,番目の項が変数 の間の共分散である2×2行列の定義に使われる.
  • BinormalDistribution[{σ1,σ2},ρ]BinormalDistribution[{0,0},{σ1,σ2},ρ]に等しいのに対し,1引数形式BinormalDistribution[ρ]BinormalDistribution[{0,0},{1,1},ρ]に等しく,標準二変量正規分布と呼ばれることがある.二変量正規分布に従う確率変数は,二変量正規変量と呼ばれることがある.標準二変量正規分布は,単位二変量正規分布と呼ばれることがある.
  • 二変量正規分布の確率分布関数(PDF)は平均で絶対最大値を持つ.しかし,一変量正規分布とは異なり,複数の「峰」を持つことがある.一般に,各同伴周辺PDFの裾部は,周辺PDFが の大きい値について指数的に減少するという意味で「薄い」.(この動作は,これらの分布のSurvivalFunctionを分析することで数量的に厳密にすることができる.)
  • 二変量正規分布のPDF は,これが特定の偏微分方程式を満足するという点で一意的である.(二次元的な意味で)「ベル型」をした一変量正規分布のPDFとは異なり,二変量正規分布のPDFは(三次元的な意味で)「ベル型」であることもあればそうでないこともある.特に,二変量正規分布のPDFの全体的な形は,二変量の収束において,正規分布のそれと非常に異なることがある.一般に,0の近くの ρ の値に対応する PDFは,より「一様」(三次元の意味でベル型))に見えがちであるのに対し,付近の値は一般に「岩」あるいは「スパイキー」に見える関数に対応する.母数 および は,同伴一次元PDFの裾部の「厚さ」を決定し,ρ とともに,高さや「峰の数」を含む,二変量PDFの数量的な特性の数多くに貢献している.
  • 二変量正規分布は,英国の博識家であるフランシス・ゴールトンの業績によって1880年代の終りに知られるようになった.ゴールトンは,チャールズ・ダーウィンの著作で言及された世代差の問題を説明するためにこの分布を使った.しかし,この分布の特性は,アイルランド系アメリカ人の数学者であるロバート・エイドリアンおよびフランス人の数学者であるピエール=シモン・ラプラスによって, 1808年にすでに研究されていた.二変量正規分布はさまざまな分野に広く見られる.ベイズ解析では,平均値ベクトルの共役事前,共分散行列それぞれは,二項正規分布であり,それぞれウィッシャート分布の逆分布である.二項正規分布は,正規分布に従う任意の変数ペアの関係を調べるために使うことができる.正規分布は非常に多く応用されているので,二項正規分布も数多くの物理現象のモデル化に使うことができる.例えば,二項正規分布は,雨量の農業に対する影響を調べるために,隣接する地理領域における降雨量のモデル化に使われる.さらに,正規分布を使うことで,母集団の,身長,体重,靴のサイズ等を含む数多くの身体属性が近似できることが知られている.このことから,二項正規分布を使って一人の個人についてこれらのペアになった特性を調べることができることになる.二項正規分布は,コンピュータグラフィックス,製造業,品質管理,気象学等の分野にも使われている.
  • RandomVariateを使って.二項正規分布から,1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度(後者はWorkingPrecisionオプションを介す)の擬似乱数変量を得ることができる.Distributed[{x,y},BinormalDistribution[{μ1,μ2},{σ1,σ2},ρ]],より簡略すると を使って,確率変数 x が.二項正規分布に従って分布していると宣言することができる.このような宣言は,ProbabilityNProbabilityExpectationNExpectation等の関数で使うことができる.
  • 確率分布関数および累積密度関数は,PDF[BinormalDistribution[{μ1,μ2},{σ1,σ2},ρ],{x,y}]およびCDF[BinormalDistribution[{μ1,μ2},{σ1,σ2},ρ],{x,y}]を使って得られることがある.平均,中央値,分散,原点の周りのモーメント,中心モーメントは,それぞれMeanMedianVarianceMomentCentralMomentを使って計算することができる.
  • DistributionFitTestを使って,与えられたデータ集合が二項正規分布と一致するかどうかを検定することが,EstimatedDistributionを使って与えられたデータから二項正規パラメトリック分布を推定することが,FindDistributionParametersを使ってデータを二項正規分布にフィットすることができる.ProbabilityPlotを使って記号二項正規分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが,QuantilePlotを使って記号二項正規分布の数量に対する与えられたデータの数量のプロットを生成することができる.
  • TransformedDistributionを使って変換され二項正規分布を表すことが,CensoredDistributionを使って上限値と下限値で切り取られた値の分布を表すことが,TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる.CopulaDistributionを使って二項正規分布を含む高次元分布を構築することがProductDistributionを使って二項正規分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる.
  • BinormalDistribution数多くの他の分布と関連している.定義から,BinormalDistributionNormalDistributionを2変数に拡張したものであり,したがってMultinormalDistributionの特殊ケースと見ることができる.BinormalDistributionは,νInfinityに近付くに従ってMultivariateTDistribution[{{1,ρ},{ρ,1}},ν]のPDFが厳密にBinormalDistribution[{0,0},{1,1},ρ]のPDFになるという意味で,MultivariateTDistributionについての極限分布である.これに加え,BinormalDistributionを変換してSkewNormalDistributionLogMultinormalDistributionの両方を与えることがでる.二項正規分布は,二項正規分布に従う平均ベクトルがで標準偏差ベクトルがのベクトルのノルムはHoytDistribution[q,ω]に従って分布しているという意味で,HoytDistributionの構築ブロックと考えることができる.BinormalDistributionNormalDistributionからCopulaDistributionの積を介して得ることができ,RayleighDistributionRiceDistributionBeckmannDistributionとも関連している.
2010年に導入
(8.0)