BinormalDistribution

BinormalDistribution[{μ1,μ2},{σ1,σ2},ρ]
表示均值为 、协方差矩阵为 的二元正态分布.

BinormalDistribution[{σ1,σ2},ρ]
表示均值为零的二元正态分布.

BinormalDistribution[ρ]
表示均值为零、协方差矩阵为 的二元正态分布.

更多信息更多信息

背景
背景

  • BinormalDistribution[{μ1,μ2},{σ1,σ2},ρ] 表示了一个定义在实数对上的二元(即两个变量)的统计分布,此分布的第一、第二边缘分布(MarginalDistribution)都是 NormalDistribution,即变量 分别满足 x1NormalDistribution[μ1,σ1]x2NormalDistribution[μ2,σ2],此分布被称为二元正态分布. 因此二元正态分布有一对被称为均值向量的实数参数 ,一对被称为标准差向量的正实数参数 ,以及一个被称为是 的相关系数的实数参数 . ρ 被用于定义与该分布有关的协方差矩阵 ,即一个 2×2 的矩阵,其中 位置的元素是变量 之间的协方差.
  • 双参数形式的 BinormalDistribution[{σ1,σ2},ρ] 等价于 BinormalDistribution[{0,0},{σ1,σ2},ρ],而单参数形式的 BinormalDistribution[ρ] 等价于 BinormalDistribution[{0,0},{1,1},ρ] 且有时又被称为标准二元正态分布. 二元正态分布的随机变量有时又被称为二元正态变量. 二元正态分布有时又被称为双变量正态分布,而标准二元正态分布也被称为单位二元正态分布.
  • 二元正态分布的概率密度函数(PDF)在均值 处取得绝对最大值,虽然不像单变量正态分布那样,它可能有多个. 一般而言每个相关边缘 PDF 的尾部都比较,意思是当 值较大时衰减是指数级的.(这一行为可通过研究分布的 SurvivalFunction 做精确的定量分析.)
  • 二元正态分布的 PDF 在满足偏微分方程 的意义下是唯一的. 与单变量正态分布的(二维意义下的)钟形的 PDF 不同,二元正态分布的 PDF 可能也可能不是(二维意义下的)钟形. 尤其,二元正态分布的 PDF 的整体形状可能会根据两个随机变量的协方差而与正态分布的 PDF 有极大的不同. 一般而言,ρ 值接近零时 PDF 看起来更正态(即三维意义下的钟形)而当值接近 时函数一般看起来会比较崎岖多尖. 参数 决定了与之相关的一维 PDF 的尾部厚度,并且和 ρ 一起决定了双变量 PDF 的许多定性性质,包括其高度和的数目.
  • 二元正态分布在 1880 年代后期因为英国博物家弗朗西斯·高尔顿的工作而名声鹊起,他用它解释了查尔斯·达尔文著作中提到的代际变化问题. 然而此分布的种种性质早在 1808 年就已经被爱尔兰裔美国数学家 Robert Adrain 和法国数学家 Pierre-Simon Laplace 研究过了. 二元正态分布广泛存在于许多领域. 在贝叶斯分析中,均值向量和协方差矩阵的共轭先验分别是二元正态分布和逆威沙特分布. 二元正态分布可以用于检查任何一对正态分布变量之间的关系,并且由于正态分布有大量的应用,二元正态分布因此被用于模拟许多物理现象. 例如,二元正态分布有时被用于对相邻地理区域的降雨建模,以探讨其对农业的影响. 此外,一些物理属性,包括身高、体重、鞋的大小等,在人群中的分布都已知是很接近于正态分布的,由此可知,二元正态分布可以用来研究这些在同一个体上观察到的成对特性. 二元正态分布还被发现在如计算机图形学、制造和质量管理,以及气象等其它领域有应用.
  • RandomVariate 可被用于给出二元正态分布的一个或多个机器精度或任意精度(后者可用 WorkingPrecision 选项指定)的伪随机变量. Distributed[{x,y},BinormalDistribution[{μ1,μ2},{σ1,σ2},ρ]],更简洁的写法是 ,可被用于声明随机变量对 是二元正态分布的. 这样一个声明之后可用在如 ProbabilityNProbabilityExpectation 以及 NExpectation 这样的函数中.
  • 概率密度函数和累积分布函数可用 PDF[BinormalDistribution[{μ1,μ2},{σ1,σ2},ρ],{x,y}]CDF[BinormalDistribution[{μ1,μ2},{σ1,σ2},ρ],{x,y}] 求得. 平均数、中位数、方差、原点矩及中心矩可分别用 MeanMedianVarianceMomentCentralMoment 计算.
  • DistributionFitTest 可被用于测试给定的数据集是否与二元正态分布一致,EstimatedDistribution 可被用于根据给定数据估算二元正态参数化分布,而 FindDistributionParameters 可拟合数据和二元正态分布. ProbabilityPlot 可被用于生成给定数据的 CDF 相对于符号二元正态分布的 CDF 的图线,而 QuantilePlot 可被用于生成给定数据的分位数相对于符号二元正态分布的分位数的图线.
  • TransformedDistribution 可被用于表示转换的二元正态分布,CensoredDistribution 可被用于表示删截后位于上限值和下限值之间的值分布,而 TruncatedDistribution 可被用于表示截断后位于上限值和下限值之间的值分布. CopulaDistribution 可被用于建立包含了二元正态分布的高维分布,而 ProductDistribution 可被用于计算包括二元正态分布在内的,若干个独立分量分布的联合分布.
  • BinormalDistribution 与许多其它分布密切相关. 由定义,BinormalDistributionNormalDistribution 的双变量推广,也因此可以被看成是 MultinormalDistribution 的一个特例. BinormalDistributionMultivariateTDistribution 的极限分布因为 MultivariateTDistribution[{{1,ρ},{ρ,1}},ν] 的 PDF 在 ν 趋向于 Infinity 时正是 BinormalDistribution[{0,0},{1,1},ρ] 的 PDF. 此外,BinormalDistribution 还可以被转换成 SkewNormalDistributionLogMultinormalDistribution 并可以被看作是 HoytDistribution 的组成部分因为均值向量为 而标准差向量为 的二元正态分布向量的范数的分布为 HoytDistribution[q,ω]. BinormalDistribution 可以用 CopulaDistributionNormalDistribution 做乘积得到并且还和 RayleighDistributionRiceDistribution 以及 BeckmannDistribution 有关.
2010年引入
(8.0)
Translate this page: