DirichletDistribution

DirichletDistribution[{α1,,αk+1}]
次元 k,形状母数 のディリクレ(Dirichlet)分布を表す.

詳細詳細

予備知識
予備知識

  • DirichletDistribution[{α1,,αk+1}]は,和が1未満で である正の実数の k タプル上で定義された多変量連続統計分布を表す.DirichletDistribution[{α1,,αk+1}]の周辺分布(MarginalDistribution) は,成分 のさまざまな線形結合でパラメータ化されたあらゆる種類のBetaDistributionである.結果として,ディリクレ分布は,その成分 がすべて正の実数であり,その確率分布関数(PDF)の形を決定する,タプルでパラメータ化される.ディリクレ分布は,多変量ベータ分布と呼ばれることがある.
  • ディリクレ分布のPDFの絶対最大値は,その平均,つまり,成分がその一変量周辺分布のPDFの一変数平均である k ベクトルにある.ディリクレ分布に対応する,関連する各周辺分布のPDFの裾部は,周辺分布のPDFが大きい値の について指数的というよりも代数的に減少するという意味で「太い」(この動作は,これらの分布のSurvivalFunctionを分析することによって,数量的に厳密にすることができる).
  • ディリクレ分布は,ドイツ人の数学者であるJohann Dirichletにちなんで命名された.この分布は,1970年代にThomas Fergusonによって正式に導入されて以来,現実世界と理論上の現象の両方をモデル化するためのツールとして使われてきた.ディリクレ分布は,より普遍的なディリクレ過程,簡単に言えば,特定のアルゴリズムに従ってある確率分布を確率分布の各集合に割り当てる無限次元確率過程,の有限バージョンである.同様に,ディリクレ分布は,MultinomialDistributionについての共役事前分布としてを含み,ベイズ統計の事前分布としてもしばしば現れる.ディリクレ分布の興味深い応用の一つに,長年に渡って製造される(偏りのない)サイコロについての,より最近製造されたサイコロの方が,製造過程の精度が上がったためにより「偏りがない」ことに注目した,確度のでたらめさのモデリングがある.ディリクレ分布は,データマイニング,機械学習,コンピュータビジョンにも応用されている.より最近では,ディリクレ分布はテキスト集合中の単語頻度のモデル化に使われている.
  • RandomVariateを使って.ディリクレ分布から,1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度(後者はWorkingPrecisionオプションを介す)の擬似乱数変量を得ることができる.Distributed[{x1,,xk},DirichletDistribution[{α1,,αk+1}]],より簡略すると を使って,確率変数の k タプルが.ディリクレ分布に従って分布していると宣言することができる.このような宣言は,ProbabilityNProbabilityExpectationNExpectation等の関数で使うことができる.
  • 確率分布関数および累積密度関数は,PDF[DirichletDistribution[{α1,,αk+1}],{x1,,xk}]およびCDF[DirichletDistribution[{α1,,αk+1}],{x1,,xk}]を使って得られることがある.平均,中央値,分散,原点の周りのモーメント,中心モーメントは,それぞれMeanMedianVarianceMomentCentralMomentを使って計算することができる.さらに,Covarianceを使ってDirichletDistributionに対応する共分散行列を計算することができる.
  • DistributionFitTestを使って,与えられたデータ集合がディリクレ分布と一致するかどうかを検定することが,EstimatedDistributionを使って与えられたデータからパラメトリックディリクレ分布を推定することが,FindDistributionParametersを使ってデータをディリクレ分布にフィットすることができる.ProbabilityPlotを使って記号ディリクレ分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが,QuantilePlotを使って記号ディリクレ分布の変位値に対する与えられたデータの変位値のプロットを生成することができる.
  • TransformedDistributionを使って変換されたディリクレ分布を表すことが,CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で切り取られた値の分布を表すことが,TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる.CopulaDistributionを使ってディリクレ分布を含む高次元分布を構築することが,ProductDistributionを使ってディリクレ分布含む独立成分分布の結合分布を計算することができる.
  • DirichletDistributionは,数多くの他の分布と関連している.先述の通り,DirichletDistributionは,両者それぞれの周辺分布がベータ分布であるという意味で,BetaDistributionと緊密な関係がある.さらに,任意の一次元ディリクレ分布は,DirichletDistribution[{α1,α2}]のPDFが厳密にBetaDistribution[α1,α2]のPDFであるという意味において,ベータ分布である.DirichletDistributionはまた,k 個の独立分布に従うガンマ変量 の和によって定義されるガンマ分布に従う変数の場合は, 常に,確率変数 DirichletDistributionに従って分布しているという意味で,GammaDistributionにも関連している.DirichletDistributionMultinomialDistributionの事前共役分布であり,BetaPrimeDistributionCompoundPoissonDistributionMultinormalDistributionとも関係している.

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二次元の確率密度関数:

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二次元の累積分布関数:

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二次元の平均と分散:

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共分散:

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2010年に導入
(8.0)
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