GammaDistribution

GammaDistribution[α,β]
形状母数 α,尺度母数 β のガンマ分布を表す.

GammaDistribution[α,β,γ,μ]
形状母数 αγ,尺度母数 β,位置母数 μ の一般化されたガンマ分布を表す.

詳細詳細

  • ガンマ分布における値 の確率密度は,のときは に比例し,のときは0である. »
  • 一般化されたガンマ分布における値 の確率密度は, ではに比例し,その他の場合は0である.
  • GammaDistributionでは,αβγ は任意の正の実数でよく,μ は任意の実数でよい.
  • GammaDistributionは,MeanCDFRandomVariate等の関数で使うことができる. »

予備知識
予備知識

  • GammaDistribution[α,β,γ,μ]は,区間上で定義され,実数 μ (「位置母数」と呼ばれる),2つの正の実数 αγ(「形状母数」と呼ばれる),正の実数 β (「尺度母数」と呼ばれる)でパラメータ化された連続統計分布を表す.母数 μ は,ガンマ分布の確率分布関数(PDF)の水平位置を決定する.PDFの形は,αβγ の取る値の組合せに完全に依存し,単峰性か潜在的な特異値が領域の下方境界に近付く単調減少のいずれかである.これに加え,PDFの裾部は, の大きい値についてPDFが指数的に減少するという意味で「薄い」(この動作は,分布のSurvivalFunctionを分析することで数量的に正確にできる).4母数バージョンは一般化されたガンマ分布と呼ばれることがあるのに対し,2母数形式のGammaDistribution[α,β]GammaDistribution[α,β,1,0]に等しい)は,しばしば単に「ガンマ分布」と呼ばれる.
  • (2母数の)ガンマ分布は1830年代のラプラスの業績まで遡ることができる.ラプラスは,標準変量の精度についての後方共役事前分布としてこれを得た.3母数形式および4母数形式への一般化は,ディリクレ積分公式についてのリウヴィルの業績まで遡ることができる.ガンマ分布の名称は,そのPDFにガンマ関数が存在することによる.ガンマ分布は,さまざまな分野における数量をモデル化するために使われる.統計学では,ガンマ分布は,多変量正規分布に従う変量中の独立単位正規変量の平方和と関連する分布であり,正定値二次元形式(の形を持つもの)の分布の近似に使われる.ガンマ分布は,気象学,金融工学,統計生態学,個体群動態,ゲノミクス,神経科学,保険数理を含む他の多くの分野でも使われている.
  • RandomVariateを使ってガンマ分布から,1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度(後者はWorkingPrecisionオプションを介す)の擬似乱数変量を得ることができる.Distributed[x,GammaDistribution[α,β,γ,μ]](より簡略すると )を使って,確率変数 x が.ガンマ分布に従って分布していると宣言することができる.このような宣言は,ProbabilityNProbabilityExpectationNExpectation等の関数で使うことができる.
  • 確率分布関数および累積密度関数は,PDF[GammaDistribution[α,β,γ,μ],x]およびCDF[GammaDistribution[α,β,γ,μ],x]を使って得られることがある.平均,中央値,分散,原点の周りのモーメント,中心モーメントは,それぞれMeanMedianVarianceMomentCentralMomentを使って計算することができる.
  • DistributionFitTestを使って,与えられたデータ集合がガンマ分布と一致するかどうかを検定することが,EstimatedDistributionを使って与えられたデータからパラメトリックガンマ分布を推定することが,FindDistributionParametersを使ってデータをガンマ分布にフィットすることができる.ProbabilityPlotを使って記号ガンマ分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが,QuantilePlotを使って記号ガンマ分布の変位値に対する与えられたデータの変位値のプロットを生成することができる.
  • TransformedDistributionを使って変換されたガンマ分布を表すことが,CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で切り取られた値の分布を表すことが,TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる.CopulaDistributionを使ってガンマ分布を含む高次元分布を構築することが,ProductDistributionを使ってガンマ分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる.
  • ガンマ分布は他のいくつかの分布と関連している.先述した通り,GammaDistributionNormalDistributionおよびMultinormalDistributionと緊密な関係があり,PoissonDistributionNormalDistributionExponentialDistributionGompertzMakehamDistributionを含むいくつかの分布の共役事前分布である.GammaDistributionChiSquareDistributionGammaDistribution[ν/2,,2,0]のPDFはChiSquareDistribution[ν]のPDFと同じである),ExponentialDistributionExponentialDistribution[1/λ]のPDFはGammaDistribution[1,λ]のPDFと同じである),MaxwellDistributionMaxwellDistribution[σ]のPDFはGammaDistribution[3/2,σ,2,0]のPDFと厳密に等しい)に一般化される.これを変換してInverseGammaDistributionMoyalDistributionLogGammaDistribution等の分布を得ることができる.GammaDistributionは,PearsonDistributionErlangDistributionBetaDistributionExpGammaDistributionRayleighDistributionChiDistributionWeibullDistributionStudentTDistribution等とも関連している.

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ガンマ分布の確率密度関数:

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ガンマ分布の累積分布関数:

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ガンマ分布の平均と分散:

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ガンマ分布の中央値:

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一般化されたガンマ分布の確率密度関数:

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一般化されたガンマ分布の累積分布関数:

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一般化されたガンマ分布の平均と分散:

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一般化されたガンマ分布の中央値:

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2007年に導入
(6.0)
| 2010年に修正
(8.0)
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