GompertzMakehamDistribution

GompertzMakehamDistribution[λ,ξ]
尺度母数 λ,脆弱性の母数が ξ のGompertz分布を表す.

GompertzMakehamDistribution[λ,ξ,θ,α]
母数が λξθα のGompertzMakeham分布を表す.

詳細詳細

  • Gompertz分布における値 のハザード関数は のときは で与えられ,のときは0である.
  • GompertzMakeham分布における値 のハザード関数は,のときは で与えられ,のときは0である.
  • GompertzMakehamDistributionでは,λξ は任意の正の実数でよく,θα は任意の非負の実数でよい.
  • GompertzMakehamDistributionは,MeanCDFRandomVariate等の関数とともに使うことができる.

予備知識
予備知識

  • GompertzMakehamDistribution[λ,ξ,θ,α]は,区間上で定義され,2つの非負の実数 θ および α と,それぞれ「尺度母数」および「脆弱性母数」と呼ばれる2つの正の実数 λ および ξ によってパラメータ化された連続統計分布を表す.GompertzMakeham分布の確率分布関数(PDF)の全体的な動作は,母数 λξθα の値によって決定される.PDFは潜在的な特異点が領域の下限に近付く単調減少か単峰性である.さらに,母数によって,PDFの裾部は,PDFが の大きい値について代数的に減少するか指数的に減少するかによって,「太い」か「細い」のいずれかになる(この動作は分布のSurvivalFunctionを分析することで数量的に正確にできる).この分布の2母数バージョンのGompertzMakehamDistribution[λ,ξ]は,しばしばGompertz分布と呼ばれ,GompertzMakehamDistribution[λ,ξ,0,0]に等しい.
  • GompertzMakeham分布は,英国人の数学者であるBenjamin Gompertzが1820年代初頭に研究した分布を,英国人の数学者であるW. M. Makehamが1890年代に一般化したことによって導入された.Gompertzによる当初の分布は人間の寿命をなめらかにモデル化するために構築されたもので,死が老化のみによってもたらされるという仮定によっているのに対し,Makehamの業績は,老化とその他のさまざまな原因による死を勘案してこのモデルを一般化した結果である.GompertzMakeham分布はいわゆるGompertzMakehamの寿命の法則の基礎となったものである.この法則は,人間の死亡率は年齢に依存するものと年齢には依存しないものの2成分からなるとする.この法則は,コンピュータサイエンス,保険数理,老年学,人口統計,生物学,信頼性理論を含むさまざまな分野で使用されている.
  • RandomVariateを使って.GompertzMakeham分布から,1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度(後者はWorkingPrecisionオプションを介す)の擬似乱数変量を得ることができる.Distributed[x,GompertzMakehamDistribution[λ,ξ,θ,α]],より簡略すると を使って,確率変数 x が.GompertzMakeham分布に従って分布していると宣言することができる.このような宣言は,ProbabilityNProbabilityExpectationNExpectation等の関数で使うことができる.
  • 確率分布関数および累積密度関数は,PDF[GompertzMakehamDistribution[λ,ξ,θ,α],x]およびCDF[GompertzMakehamDistribution[λ,ξ,θ,α],x]を使って得られることがある.平均,中央値,分散,原点の周りのモーメント,中心モーメントは,それぞれMeanMedianVarianceMomentCentralMomentを使って計算することができる.
  • DistributionFitTestを使って,与えられたデータ集合がGompertzMakeham分布と一致するかどうかを検定することが,EstimatedDistributionを使って与えられたデータからパラメトリックGompertzMakeham分布を推定することが,FindDistributionParametersを使ってデータをGompertzMakeham分布にフィットすることができる.ProbabilityPlotを使って記号GompertzMakeham分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが,QuantilePlotを使って記号GompertzMakeham分布の変位値に対する与えられたデータの変位値のプロットを生成することができる.
  • TransformedDistributionを使って変換されたGompertzMakeham分布を表すことが,CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で切り取られた値の分布を表すことが,TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる.CopulaDistributionを使ってGompertzMakeham分布を含む高次元分布を構築することが,ProductDistributionを使ってGompertzMakeham分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる.
  • GompertzMakeham分布は,他のいくつかの分布と関連がある.例えば,GompertzMakehamDistributionは,GompertzMakehamDistribution[λ,θ/λ]のハザード関数(HazardFunctionを参照のこと)は,λ がゼロに近付くに従ってExponentialDistribution[θ]に近付くという意味で,ExponentialDistributionと関連がある.これに加え,GompertzMakehamDistributionは切断GumbelDistributionである(つまり,[に限定されたGumbelDistribution[a,b]GompertzMakehamDistribution[1/b,Exp[-a/b]]と同じである).この分布は切断WeibullDistributionと関係があり,したがって,FrechetDistributionExtremeValueDistributionを含む他の「極値分布」とも関係がある.GompertzMakehamDistributionは,GammaDistributionExpGammaDistributionRayleighDistributionStudentTDistributionとも関係がある.

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Gompertz分布の確率密度関数:

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Gompertz分布の累積分布関数:

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GompertzMakeham分布の確率密度関数:

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GompertzMakeham分布の累積分布関数:

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Gompertz分布の平均と分散:

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Gompertz分布の中央値:

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2010年に導入
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