GumbelDistribution

GumbelDistribution[α,β]
位置母数 α,尺度母数 β のガンベル(Gumbel)分布を表す.

GumbelDistribution[]
位置母数0,尺度母数1のガンベル分布を表す.

詳細詳細

  • ガンベル分布は正規分布等の分布から取ったサンプルの最小値の漸近分布を与える.
  • 時にガンベル分布とも呼ばれる最大値の漸近分布が,ExtremeValueDistributionとしてWolfram言語に実装されている. »
  • ガンベル分布における値 の確率密度は に比例する. »
  • GumbelDistributionでは,α は任意の実数,β は任意の正の実数でよい.
  • GumbelDistributionは,MeanCDFRandomVariate等の関数で使うことができる. »

予備知識
予備知識

  • GumbelDistribution[α,β]は,実数上で定義され,実数 α (「位置母数」)および正の実数 β (尺度母数)でパラメータ化された連続統計分布を表す.ガンベル分布の確率分布関数(PDF)は単峰性で,母数 α が水平位置を,母数 β が全体的な高さと傾きを決定する.PDFの裾部は,PDFが の大きい値について指数的に減少するという意味で「薄い」(この動作は,分布のSurvivalFunctionを分析することで数量的に正確にできる).ガンベル分布は,タイプ1の極値分布(Wolfram言語にExtremeValueDistributionとして実装されている極値分布と混同してはならない),二重指数分布(二重指数分布と呼ばれることがあるLaplaceDistributionと混同してはならない), 対数ワイブル分布(WeibullDistributionを参照のこと)と呼ばれることがある.
  • GumbelDistributionは,「極値分布」としてまとめられる4つの分布の1つである(他の3つはFrechetDistributionExtremeValueDistributionWeibullDistribution).これらはすべて,「極端」あるいは「稀」な事象(例えば,「非常に可能性が低い」事象や中央値から甚だしく逸脱した変量を含むデータ集合等)の数量化に使われる.ガンベル分布はドイツ人の数学者であるEmil Julius Gumbelにちなんで命名された.Gumbelは,1930年代の終りに,この分布を,最小順序統計量のための極限分布(つまり,他の隠れた分布に従うサンプルの最小値についての潜在的な漸近分布)として研究した.ガンベル分布は,その始まりから,人間の寿命,放射線の放出,進化的な遺伝子変異,洪水と地震の分析,旱魃,破滅的な保険の損失等,現実世界の数多くの現象のモデル化に使われた.ガンベル分布は,整数論の整数分割(IntegerPartitionsを参照のこと)における項数や記録的な素数間隔の大きさの近似等にも使われてきた.
  • RandomVariateを使って.ガンベル分布から,1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度(後者はWorkingPrecisionオプションを介す)の擬似乱数変量を得ることができる.Distributed[x,GumbelDistribution[α,β]],より簡略すると を使って,確率変数 x が.ガンベル分布に従って分布していると宣言することができる.このような宣言は,ProbabilityNProbabilityExpectationNExpectation等の関数で使うことができる.
  • 確率分布関数および累積密度関数は,PDF[GumbelDistribution[α,β],x]およびCDF[GumbelDistribution[α,β],x]を使って得られることがある.平均,中央値,分散,原点の周りのモーメント,中心モーメントは,それぞれMeanMedianVarianceMomentCentralMomentを使って計算することができる.
  • DistributionFitTestを使って,与えられたデータ集合がガンベル分布と一致するかどうかを検定することが,EstimatedDistributionを使って与えられたデータからパラメトリックガンベル分布を推定することが,FindDistributionParametersを使ってデータをガンベル分布にフィットすることができる.ProbabilityPlotを使って記号ガンベル分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが,QuantilePlotを使って記号ガンベル分布の変位値に対する与えられたデータの変位値のプロットを生成することができる.
  • TransformedDistributionを使って変換されたガンベル分布を表すことが,CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で切り取られた値の分布を表すことが,TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる.CopulaDistributionを使ってガンベル分布を含む高次元分布を構築することが,ProductDistributionを使ってガンベル分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる.
  • ガンベル分布は他のいくつかの分布と関係している.先述したように,GumbelDistributionExtremeValueDistributionFrechetDistributionWeibullDistributionと数量関係を共有している.これらの関係は,GumbelDistribution[α,β]のPDFがTransformedDistribution[-u,u ExtremeValueDistribution[-α,β]]およびTransformedDistribution[β α Log[u/β]+α,u WeibullDistribution[α,β]]のPDFと厳密に等しく,FrechetDistributionWeibullDistributionの変換である点に注目することで,数量化することができる. GumbelDistributionは,GumbelDistribution[α,β]MinStableDistribution[α,β,0]TransformedDistribution[-u,u MaxStableDistribution[-α,β,0]]のPDFがすべて等しいという意味で,MinStableDistributionおよびMaxStableDistributionに関係している.GumbelDistributionLogisticDistributionExpGammaDistributionGompertzMakehamDistributionExponentialDistributionとも関係がある.
2007年に導入
(6.0)
| 2015年に修正
(10.2)
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