MultinormalDistribution

MultinormalDistribution[μ,Σ]
平均ベクトル μ,共分散行列 Σ の多変量正規(ガウス)分布を表す.

詳細詳細

  • 多変量正規分布におけるベクトル の確率密度は に比例する.
  • 平均 μ は任意の実ベクトルでよく,Σp=Length[μ]となる任意の実数の × 正定値対称行列でよい.
  • MultinormalDistributionは,MeanCDFRandomVariate等の関数とともに使うことができる.

予備知識
予備知識

  • MultinormalDistribution[μ,Σ]は, 個のタプルすべてのの集合上でサポートされ, 番目の各(多変量)周辺分布が についてNormalDistributionであるという特性によって特徴付けられる多変量連続統計分布を表す.言い換えるなら,変数の のそれぞれが について xkNormalDistributionを満足する.多変量正規分布MultinormalDistribution[μ,Σ]は,実数のベクトル μ および nLength[μ]Length[Σ]を満足し分布の陪平均,分散,共分散を定義する正定値対称行列 Σ でパラメータ化される.多変量正規分布の一変量周辺分布は正規分布に従う.
  • 多変量正規分布の確率密度関数(PDF)は単一の絶対最大値を持つが,二変量正規分布 (BinormalDistribution) のように,複数の「峰」(相対的極大値)を持つこともある.一般に,関連する周辺分布の各PDFの裾部は,周辺分布のPDFが の大きい値について代数的というよりもむしろ指数的に減少するという意味で「薄い」(この動作は周辺分布のSurvivalFunctionを分析することで数量的に厳密にすることができる).
  • 多変量正規分布の応用の多くは,一般的な多変量正規分布の場合ではなく,(BinormalDistribution)あるいは の場合である.しかし,多変量中心極限定理の結果として,多変量正規分布を使って,値が指定された平均値の周りに集まっている任意の実数値確率変数集合を(少なくとも定性的に)説明することができる.正規分布の多変量バージョンについての初期の文献(中には1800年代にまで遡るものもある)は,主に二変量および三変量のケースに焦点を当てていた.これらはどちらも,遺伝学,材料科学,進化生物学,経済学,生態学,医学を含む幅広い分野に応用されている.
  • RandomVariateを使って,多変量正規分布から,1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度(後者はWorkingPrecisionオプションを介す)の擬似乱数変量を得ることができる.Distributed[x,MultinormalDistribution[μ,Σ]] (より簡略な表記では )を使って,確率変数 x が多変量正規分布に従って分布していると宣言することができる.このような宣言は,ProbabilityNProbabilityExpectationNExpectation等の関数で使うことができる.
  • 確率密度関数および累積分布関数は,PDF[MultinormalDistribution[μ,Σ],x]およびCDF[MultinormalDistribution[μ,Σ],x]を使って得られる.平均,中央値,分散,原点の周りのモーメント,中心モーメントは,それぞれMeanMedianVarianceMomentCentralMomentを使って計算することができる.
  • DistributionFitTestを使って,与えられたデータ集合が多変量正規分布と一致するかどうかを検定することが,EstimatedDistributionを使って与えられたデータからパラメトリック多変量正規分布を推定することが,FindDistributionParametersを使ってデータを多変量正規分布にフィットすることができる.ProbabilityPlotを使って記号多変量正規分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが,QuantilePlotを使って記号多変量正規分布の変位値に対する与えられたデータの変位値のプロットを生成することができる.
  • TransformedDistributionを使って変換された多変量正規分布を表すことが,CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で切り取られた値の分布を表すことが,TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる.CopulaDistributionを使って多変量正規分布を含む高次元分布を構築することが,ProductDistributionを使って多変量正規分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる.
  • MultinormalDistributionは,上述のように,NormalDistributionおよびBinormalDistributionを含む他の数多くの分布と関連している.MultinormalDistributionの一次元周辺分布はNormalDistributionに従うのに対し,各多変量周辺分布はMultinormalDistributionとなっている.MultinormalDistributionは,νのときにPDF[MultinormalDistribution[{μ1,μ2},{{1,ρ},{ ρ,1}}],{x,y}]が厳密にPDF[MultivariateTDistribution[{μ1,μ2},{{1,ρ},{ ρ,1}},ν],{x,y}]の極限であるという意味で,MultivariateTDistributionの極限のケースである.さらに,MultinormalDistributionは変換(TransformedDistribution)によってLogMultinormalDistributionから得ることができる.MultinormalDistributionRiceDistributionとも関係があり,一変量NormalDistributionとの関係から,LogNormalDistributionDavisDistributionLogLogisticDistributionExponentialDistributionWeibullDistributionGompertzMakehamDistributionExtremeValueDistributionGammaDistributionとも関係がある.
2010年に導入
(8.0)
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