NormalDistribution

NormalDistribution[μ,σ]
平均 μ,標準偏差 σ の正規(ガウス)分布を表す.

NormalDistribution[]
平均がゼロで標準偏差が1である正規分布を表す.

詳細詳細

予備知識
予備知識

  • NormalDistribution[μ,σ]は,実数領域上で定義される,いわゆる「正規」統計分布を表す.この分布は,実数 μ および正の実数 σ でパラメータ化される.ただし,μ は分布の平均,σ は標準偏差,は分散として知られている.正規分布の確率分布関数(PDF)は単峰で,その峰は平均 にあり,パラメータ σ はPDFの高さとその裾部の「厚さ」の両方を決定する.正規分布のPDFは,その最大値について対称であり,そのPDFの裾部はPDFが の大きい値について指数的に減少するという意味で「薄い」.(この動作は,分布のSurvivalFunctionを分析することで数量的に正確にすることができる.) 引数0の形式であるNormalDistribution[]NormalDistribution[0,1]に等しく,標準正規分布と呼ばれることがある.
  • 正規分布は,そのPDFにガウス関数が現れることから,ガウス分布と呼ばれることがある.非公式ではあるが,正規分布はそのPDFがベルのような形になることから,「ベル曲線」と言われることもある,しかし,CauchyDistributionStudentTDistributionLogisticDistribution等の他の分布も数量的に「ベル」の形に似て表示される点に注意が必要である.
  • 正規分布に従う確率変数は標準変量と呼ばれることがあり,標準正規分布は単位積分布と呼ばれることがある.
  • 正規分布は,最も広く見られる確率分布の1つであり,多くの分野に応用されている.例えば,正規分布に従う値はモンテカルロ法の応用において根本的な重要さを持つ.さらに,正規分布は,それぞれがかつ について」 の独立の正規同分布に従う独立の増分 からなる,ウィナー過程 の定義においても基本的な役割を果たしている.また,パーセンタイル順位や スコアおよび スコアを含む確率値および統計値の多くが,正規分布から導かれている.さらに,中心極限定理のために,十分な数がある独立確率変数の平均は,ある種の仮定が満たされるならば,値を表現するもとの分布には無関係に,正規分布の近似となる.正規分布は,また,理想気体分子の速度,拡散中の粒子の位置,長期間に渡る温度ランプの動作等,数多くの物理現象をモデル化する際に自然に現れる.加えて,生体組織の大きさや空腹時の血糖レベルや血圧等の数量等多くの生物学現象に見られる変数も,その対数が正規分布に従うことが多い.
  • RandomVariateを使って,正規分布から,1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度(後者はWorkingPrecisionオプションを介す)の擬似乱数変量を得ることができる.Distributed[x,NormalDistribution[μ,σ]],より簡略すると を使って,確率変数 x が正規分布に従って分布していると宣言することができる.このような宣言は,ProbabilityNProbabilityExpectationNExpectation等の関数で使うことができる.
  • 確率分布関数および累積密度関数は,PDF[NormalDistribution[μ,σ],x]およびCDF[NormalDistribution[μ,σ],x]を使って得られることがある.平均,中央値,分散,原点の周りのモーメント,中心モーメントは,それぞれMeanMedianVarianceMomentCentralMomentを使って計算することができる.
  • DistributionFitTestを使って,与えられたデータ集合が正規分布と一致するかどうかを検定することが,EstimatedDistributionを使って与えられたデータから正規パラメトリック分布を推定することが,FindDistributionParametersを使ってデータを正規分布にフィットすることができる.ProbabilityPlotを使って記号正規分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが,QuantilePlotを使って記号正規分布の数量に対する与えられたデータの数量のプロットを生成することができる.
  • TransformedDistributionを使って変換された正規分布を表すことが,CensoredDistributionを使って上限値と下限値で切り取られた値の分布を表すことが,TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる.CopulaDistributionを使って正規分布を含む高次元分布を構築することがProductDistributionを使って正規分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる.
  • NormalDistributionは他の多くの分布と密接に関係している.LogNormalDistributionHalfNormalDistributionNoncentralChiSquareDistributionLevyDistributionを含む数多くの分布が,NormalDistributionを変換した形であると見ることができる.また,NormalDistributionHyperbolicDistributionStudentTDistributionPoissonDistributionBinomialDistributionを含む多くの関数の極限のケースであると考えることができる.加えて,NormalDistributionExponentialPowerDistributionPDF[NormalDistribution[μ,σ],x]PDF[ExponentialPowerDistribution[2,μ,σ],x]に等しい),SkewNormalDistributionPDF[NormalDistribution[μ,σ],x]PDF[SkewNormalDistribution[μ,σ,0],x]に等しい),PearsonDistributionPDF[NormalDistribution[μ,σ],x]PDF[PearsonDistribution[3,σ-2,-μ σ-2,0,0,1],x]に等しい,ただしσ>0のとき)の特殊ケースであり,BinormalDistributionおよびMultinormalDistributionの周辺分布である.NormalDistributionは,StableDistributionRiceDistributionRayleighDistributionMaxwellDistributionLevyDistributionLaplaceDistributionJohnsonDistributionChiDistributionChiSquareDistributionと密接な関係がある.
2007年に導入
(6.0)