ParetoDistribution

ParetoDistribution[k,α]
最小値母数 k,形状母数 α のパレート分布を表す.

ParetoDistribution[k,α,μ]
位置母数 μ のパレート分布タイプIIを表す.

ParetoDistribution[k,α,γ,μ]
形状母数 γ のパレート分布タイプIVを表す.

詳細詳細

  • パレート分布における値 の確率密度は, のときは に比例し, のときは0である. »
  • ParetoDistributionにはタイプI,タイプII,タイプIII,タイプIVのパレート分布が含まれる.
  • ParetoDistribution[k,α]タイプIのパレート分布
    ParetoDistribution[k,α,μ]タイプIIのパレート分布
    ParetoDistribution[k,1,γ,μ]タイプIIIのパレート分布
    ParetoDistribution[k,α,γ,μ]タイプIVのパレート分布
  • ParetoDistribution[k,α,0]はLomax分布としても知られている.
  • パレート分布における値 の生存関数は以下に対応する.
  • ParetoDistribution[k,α]
    ParetoDistribution[k,α,μ]
    ParetoDistribution[k,α,γ,μ]
  • ParetoDistributionでは,αkγ は任意の正の実数でよく,μ は任意の実数でよい.
  • ParetoDistributionは,MeanCDFRandomVariate等の関数とともに使うことができる. »

予備知識
予備知識

  • ParetoDistributionは,その引数構造によって,タイプIからタイプIVまでの4つのタイプのいずれに属すかが決まる,統計的分布を表す.パレート分布の確率密度関数(PDF)の全体的な形は,引数によって大きく変わる.例えば,タイプIおよびタイプIIのパレート分布のPDFは単調減少であるのに対し,タイプIVの分布は単一の峰を持つことがある.これに加えて,ParetoDistributionの全タイプのPDFは,半無限区間上で定義され,PDFの裾部はPDFが の大きな値について指数的に減少するのではなく,むしろベキ法則として減少するという意味で「平坦」である.(この動作は,分布のSurvivalFunctionを解析することで,数量的に厳密にすることができる.)
  • パレート分布は,庭に植えてある豆のほぼ8割がおよそ2割の個体から得られたものだということに気付いた,イタリアの経済学者ヴィルフレド・パレートから始まったものである.後に,パレートは国家間の富の分布が同様の分布に従うという観察を得た.この結果から,彼はいわゆるいわゆる80:20の法則(パレートの法則)を開発した.これの基底は ParetoDistribution[k,α]に対応するタイプIのパレート分布である.パレート分布は,この他の多くの数学および科学的な文脈にも見られ,ハードディスクのエラー率,株式の価格騰落率.ボース・アインシュタイン統計等を含む現象に適用可能である.
  • RandomVariateを使って,パレート分布から1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度の(後者はWorkingPrecision オプションによる)擬似乱数変量を与えることができる.Distributed[x,ParetoDistribution[k,α]],より簡略な表記では を使って,確率変数 x がタイプIのパレート分布に従って分布していると宣言することができる.正の母数 α はパレート指標として知られている.このような宣言は,ProbabilityNProbabilityExpectationNExpectation等の関数で用いることができる.
  • タイプIのパレート分布についての確率分布関数および累積密度関数は,PDF[ParetoDistribution[k,α]],x]およびCDF[ParetoDistribution[k,α]],x]を使ってそれぞれ得ることができる.タイプII,III,IVのパレート分布についても同様の式がある.一般に,パレート分布には に比例するPDFがある.平均,中央値,分散,原点の周りのモーメント,中心モーメントはそれぞれ,MeanMedianVarianceMomentCentralMomentを使って計算することができる.
  • DistributionFitTestを使って,与えられたデータ集合がパレート分布からなるかどうかを検定することが,EstimatedDistributionを使って,与えられたデータからパレートパラメトリック分布を推定することが,FindDistributionParametersを使って,データをパレート分布にフィットすることが可能である.ProbabilityPlotを使って記号パレート分布のCDFに対する与えられたデータのCDFプロットを生成することができ,QuantilePlotを使って記号パレート分布の変位値に対する与えられたデータの変位値プロットを生成することができる
  • TransformedDistributionを使って変換されたパレート分布を,CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で打ち切られた値の分布を,TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる.CopulaDistributionを使ってパレート分布を含むより高次元の分布を構築することが,ProductDistributionを使ってパレート分布を含む独立成分分布との結合分布を計算することができる.
  • ParetoDistributionは多くの他の分布と密接に関係している.例えば,パレート分布は,ZipfDistributionの連続版である.この定義の結果,パレート分布に従う確率変数の逆数はPowerDistributionに従う.さらに,パレート分布に従う確率変数の適切に中心が定まりスケールされた独立サンプルの値の合計の分布は,StableDistributionに近付くのに対し,ExponentialDistributionに従う確率変数の指数関数は ParetoDistributionに従う.ParetoDistributionは,LogNormalDistributionBenktanderWeibullDistributionBeniniDistributionBenktanderGibratDistributionChiSquareDistributionPearsonDistributionBetaPrimeDistributionとも緊密に関係している.

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タイプIのパレート分布の確率密度関数:

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タイプIのパレート分布の累積分布関数:

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タイプIのパレート分布の平均と分散:

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タイプIのパレート分布の中央値:

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タイプIIのパレート分布の確率密度関数:

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タイプIIのパレート分布の累積分布関数:

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タイプIIのパレート分布の平均と分散:

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タイプIIのパレート分布の中央値:

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タイプIVのパレート分布の確率密度関数:

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タイプIVのパレート分布の累積分布関数:

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タイプIVのパレート分布の平均と分散:

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タイプIVのパレート分布の中央値:

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2007年に導入
(6.0)
| 2010年に修正
(8.0)