TukeyLambdaDistribution

TukeyLambdaDistribution[λ]
形状母数 λ のTukeyのラムダ分布を表す.

TukeyLambdaDistribution[λ,μ,σ]
位置母数 μ,尺度母数 σ のTukeyのラムダ分布を表す.

TukeyLambdaDistribution[{λ1,λ2},μ,{σ1,σ2}]
位置母数 μ,尺度母数 ,形状母数 の一般化されたTukeyのラムダ分布を表す.

詳細詳細

予備知識
予備知識

  • TukeyLambdaDistribution[{λ1,λ2},μ,{σ1,σ2}]は,実数 μ (先頭から2つが「形状母数」,最後が「位置母数」)および正の実数 および (「尺度母数」と呼ばれる)でパラメータ化された連続統計分布を表す.これらの母数は,ともに,確率密度関数(PDF)の全体的な動作を決定する.Tukeyのラムダ分布のPDFは,μの値によって,数多くの形のうち,単一の峰(大域的最大値)がある単峰性,線形,単調減少等を含む任意の形となる.加えて,PDF(母数の値によって存在することもしないこともある)の裾部は μの値によって「太い」(つまり, PDFが の大きい値について非指数的に減少する)ことも「薄い」(つまり,PDFが の大きい値について指数的に減少する)こともある(定義された場合,この動作は分布のSurvivalFunction を分析することで数量的に厳密にすることができる).引数が5つの形のTukeyLambdaDistribution[{λ1,λ2},μ,{σ1,σ2}]は,一般化されたTukeyのラムダ分布と呼ばれることが多いのに対し,3引数および1引数の形のTukeyLambdaDistribution[λ,μ,σ]およびTukeyLambdaDistribution[λ]は(それぞれTukeyLambdaDistribution[{λ,λ},μ,{σ,σ}]およびTukeyLambdaDistribution[{λ,λ},0,{1,1}]に等しい)は,それぞれ(Tukeyの)ラムダ分布および標準(Tukey)ラムダ分布と呼ばれることが多い.
  • 1引数のTukeyラムダ分布は,1940年代にアメリカ人の数学者であるJohn Tukeyによって,正規分布(NormalDistribution) に従う確率変量から取った少数のサンプルの平均,分散,共分散をモデル化するツールとして考え出された.ラムダ分布は,そのPDFが(1引数形で のときを除いて)閉形の式を持たず,その分位関数 (Quantile)によって表現されなければならないという点で確率分布の中でも独特の存在である.たとえそうであっても,一般化されたラムダ分布は幅広い形を仮定することができ,NormalDistributionUniformDistributionBetaDistributionStudentTDistributionExponentialDistribution,および,さまざまないわゆる極値分布(例:WeibullDistributionExtremeValueDistributionGumbelDistributionFrechetDistribution)を含むさまざまな分布の近似に使うことができる,極めて用途が広い分布である.
  • RandomVariateを使って,Tukeyのラムダ分布から,1つあるいは複数の機械精度あるいは任意精度(後者はWorkingPrecisionオプションを介す)の擬似乱数変量を得ることができる.Distributed[x,TukeyLambdaDistribution[{λ1,λ2},μ,{σ1,σ2}]](より簡略な表記では )を使って,確率変数 x がTukeyのラムダ分布に従って分布していると宣言することができる.このような宣言は,ProbabilityNProbabilityExpectationNExpectation等の関数で使うことができる.
  • 確率密度関数および累積分布関数は,PDF[TukeyLambdaDistribution[{λ1,λ2},μ,{σ1,σ2}],x]およびCDF[TukeyLambdaDistribution[{λ1,λ2},μ,{σ1,σ2}],x]を使って得られることがある.平均,中央値,分散,原点の周りのモーメント,中心モーメントは,それぞれMeanMedianVarianceMomentCentralMomentを使って計算することができる.
  • DistributionFitTestを使って,与えられたデータ集合がTukeyのラムダ分布と一致するかどうかを検定することが,EstimatedDistributionを使って与えられたデータからパラメトリックTukeyラムダ分布を推定することが,FindDistributionParametersを使ってデータをTukeyのラムダ分布にフィットすることができる.ProbabilityPlotを使って記号Tukeyラムダ分布のCDFに対する与えられたデータのCDFのプロットを生成することが,QuantilePlotを使って記号Tukeyラムダ分布の変位値に対する与えられたデータの変位値のプロットを生成することができる.
  • TransformedDistributionを使って変換されたTukeyのラムダ分布を表すことが,CensoredDistributionを使って上限値と下限値の間で切り取られた値の分布を表すことが,TruncatedDistributionを使って上限値と下限値の間で切断された値の分布を表すことができる.CopulaDistributionを使ってTukeyのラムダ分布を含む高次元分布を構築することが,ProductDistributionを使ってTukeyのラムダ分布を含む独立成分分布の結合分布を計算することができる.
  • TukeyLambdaDistributionは他の数多くの分布と関連がある.TukeyLambdaDistributionは,TukeyLambdaDistribution[0]TukeyLambdaDistribution[1]TukeyLambdaDistribution[2]のPDFが,順にLogisticDistribution[0,1]UniformDistribution[{-1,1}]UniformDistribution[{-1/2,1/2}]のPDFと厳密に等しいという意味で,LogisticDistributionUniformDistributionを含む多くの分布を一般化する.TukeyLambdaDistribution[λ]は,λ の特定の値について,CauchyDistributionおよびNormalDistributionと定性的特性を共有し,したがってLogNormalDistributionBetaDistributionPearsonDistributionとも密接な関係がある.

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対称な場合の分位関数:

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位置母数と尺度母数を持つ分位関数:

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一般化されたTukeyのラムダ分布の分位関数:

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確率密度関数は閉形式を持たないが,数値的に求めることができる:

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累積分布関数は閉形式を持たないが,数値的に求めることができる:

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平均と分散には閉形式がある:

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中央値:

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位置母数と尺度母数を持つ確率密度関数:

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位置母数と尺度母数を持つ累積分布関数:

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位置母数と尺度母数を持つ平均と分散:

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位置母数と尺度母数を持つ中央値:

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一般化されたTukeyのラムダ分布の確率密度関数:

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一般化されたTukeyのラムダ分布の累積分布関数:

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一般化されたTukeyのラムダ分布の平均と分散:

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一般化されたTukeyのラムダ分布の中央値:

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2010年に導入
(8.0)
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