高级矩阵运算

SingularValueList[m]m 的非零的奇异值的列表
SingularValueList[m,k]mk 个最大的奇异值
SingularValueList[{m,a}]m 的相对于 a 的广义奇异值
Norm[m,p]mp-范数
Norm[m,"Frobenius"]m 的 Frobenius 范数

求矩阵的奇异值和范数.

矩阵 的奇异值是 的特征值的平方根,这里 表示 Hermitian 转置. 奇异值的数目是矩阵的最小的维数. SingularValueList 将奇异值从最大到最小进行整理. 非常小的奇异值通常在数值上没有意义的. 当使用 Tolerance->t 这个选项设置时,SingularValueList 去掉小于最大奇异值的 t 部分的那些奇异值. 对于近似数字矩阵,默认下的容限值稍微比零大一点.

如果取 维空间的单位球,用 × 矩阵 乘其中对于每个点的向量,这将得到 维空间的椭球体. 的奇异值给出椭球体主轴的长度.

矩阵的2-范数 Norm[m,2] 是椭球体的最大的主轴,等于矩阵最大的奇异值. 这也是对于任何可能的单位向量 的最大的2-范数长度.

矩阵的 范数一般是 所能得到的最大 范数长度. 最常考虑的情况是 . 有时也被考虑的是 Frobenius 范数 Norm[m,"Frobenius"],它是 的迹的平方根.

LUDecomposition[m]求任意方阵的 LU 分解
CholeskyDecomposition[m]Cholesky 分解

把方阵分解成三角形式.

当用 LinearSolve[m] 产生一个 LinearSolveFunction 时,这经常是通过把矩阵 m 分解成三角形式来完成的. 有时能明确地得到这些形式是有用的.

LU 分解将任何方阵有效地分解为下三角和上三角阵的乘积. Cholesky 分解将任何 Hermitian 正定矩阵分解为一个下三角阵和它的 Hermitian 共轭的乘积,这可以看成是类似于求一个方阵的平方根.

PseudoInverse[m]计算矩阵的伪逆
QRDecomposition[m]求数值矩阵的 QR 分解
SingularValueDecomposition[m]奇异值分解
SingularValueDecomposition[{m,a}]广义奇异值分解

矩阵的正交分解.

当矩阵不是方阵或是奇异时,标准的逆矩阵定义不再有效. 然而,可以定义矩阵 的伪逆矩阵 . 它使得 中的所有元素的平方和被最小化,其中 是单位阵. 伪逆矩阵有时被称为广义逆,或 MoorePenros . 这尤其在关于最小平方拟合的问题中使用.

QR 分解把任意矩阵 写为 ,其中 是正交归一矩阵, 表示 Hermitian 转置, 是一个三角阵,在其中所有主对角线以下的元素都为零.

奇异值分解或 SVD 是许多数值矩阵算法中的基本元素. 基本的思想是将任何矩阵写成 的形式,其中 是对角线上的值为 的奇异值的一个矩阵, 是正交归一的矩阵, 的 Hermitian 转置.

JordanDecomposition[m]Jordan 分解
SchurDecomposition[m]Schur 分解
SchurDecomposition[{m,a}]广义 Schur 分解
HessenbergDecomposition[m]Hessenberg 分解

关于特征值问题的函数.

绝大多数的方阵都能被变成一个特征值的对角阵,这可以通过用它们的特征向量矩阵作为相似变换来完成. 但是即使在没有足够的特征向量来做这个时,仍然可以将矩阵变成 Jordan 形式,在其中对角线上既有特征值又有 Jordan 块. Jordan 分解一般将任何方阵写成 的形式.

数值上更稳定的是 Schur 分解,它将任何矩阵 写成 的形式,其中 是一个正交归一的矩阵, 是块式上三角. 也相关的是 Hessenberg 分解,它将一个方阵写成 的形式,其中 是一个正交归一的矩阵, 可以在主对角线以下的对角线上有非零的元素.