代数的数

Root[f,k]方程式 における k 番目の根を返す

代数的数の表し方

Rootの式を入力すると,その中に多項式があれば,式は自動的に最小な形に約される.
In[1]:=
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Out[1]=
多項式を表す純粋な関数を抽出し,に適用する.
In[2]:=
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Out[2]=

Wolfram言語では,代数的数,つまり有理数を係数とする代数方程式の根はRootを用いた式で表記される.代数的数は,ある代数演算を施したなら,演算結果は必ず単一の代数的数で得られる,という性質を持つ.

代数的数の平方根を求める.
In[3]:=
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Out[3]=
RootReduceを使い,単一のRoot式に約す.別な代数方程式の根であることが分かる.
In[4]:=
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Out[4]=
代数的数を含むもっと複雑な式を例に見てみる.
In[5]:=
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Out[5]=
この例でも,単一なRoot式として根が求まる.ただし,かなり複雑になってしまう.
In[6]:=
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Out[6]=
RootReduce[expr]expr を単一なRoot式に約す
ToRadicals[expr]Root式を明示的なベキ根に変換する

代数的数を使った変形操作

簡単なRoot式なら,直ちにベキ根として表してくれる.
In[7]:=
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Out[7]=
三次の多項式だと,Rootは自動的にはベキ根で表してくれない.
In[8]:=
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Out[8]=
ToRadicalsを使い,可能な場合にはRoot式をベキ根で表す.
In[9]:=
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Out[9]=

SolveToRadicalsを使っても整方程式の解がベキ根の形で得られないなら,ほとんどの場合,そのような変形ははじめから数学的に無理だからである.ただし,式によっては基本的に可能だが,Wolframシステムで求められないときもある.そのような状況が の式に当てはまるが,この方程式の解をベキ根で表すと非常に複雑になってしまう.もそのような式の1つである.この場合には,が1つの解である.

六次の多項式を持つRoot式が得られる.
In[10]:=
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Out[10]=
ベキ根を使い簡単な形で表せるはずだが,ToRadicalsでは求まらない.
In[11]:=
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Out[11]=

四次以上になると,ほとんどの多項式では,ベキ根で表せる根は存在しなくなる.一つ例外があり,それは式が五次の場合で,そのときは楕円関数や超幾何関数で表せることが知られている.それでも,得られる形が複雑過ぎて実際には使えない.

RootSum[f,form]整方程式 を満足する のすべての値について の和を取る
Normal[expr]RootSumRootの明示的な和で代替した形で式 expr を再構築する

根の和

の根を探し,根の逆数の和を取る.
In[12]:=
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Out[12]=
対数の形はベキ根では表せない.
In[13]:=
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Out[13]=
RootSumRootを使った明示的な和の形に変換する.
In[14]:=
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Out[14]=
RootApproximant[x]x を,それを最もよく近似する「最も簡単な」代数的数のひとつに変換する
RootApproximant[x,n]x を近似する最大 n 次の代数的数を見付ける
以下は,数値近似からを回復する.
In[15]:=
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Out[15]=
この場合,結果は最大次数4である.
In[16]:=
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Out[16]=
Root式はに対応していないことを確認する.
In[17]:=
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Out[17]=