代数数

Root[f,k]多项式方程 k 次根

代数数的表示.

当输入一个 Root 对象时,其中的多项式自动被化简为极小形式.
In[1]:=
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Out[1]=
这里提取出代表多项式的纯函数并用于 .
In[2]:=
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Out[2]=

Root 对象是 Wolfram 语言表示代数数 的方式. 代数数有这样的性质:当对它们进行代数运算时,总是得到单个代数数.

这里是一个代数数的平方根.
In[3]:=
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Out[3]=
RootReduce 将它化简为单个 Root 对象.
In[4]:=
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Out[4]=
这里是一个包含代数数的更复杂的表达式.
In[5]:=
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Out[5]=
它还是能被化简成单个 Root 对象,尽管是相当复杂的.
In[6]:=
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Out[6]=
RootReduce[expr]尝试化简 expr 为单个 Root 对象
ToRadicals[expr]尝试转换 Root 对象为显式根式

代数数的运算.

在这种简单情形下,Root 对象自动表示为根式.
In[7]:=
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Out[7]=
当包含三次多项式时,Root 对象不能自动表示为根式.
In[8]:=
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Out[8]=
ToRadicals 尝试用根式表示所有的 Root 对象.
In[9]:=
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Out[9]=

如果 SolveToRadicals 不能成功地用根式表示某多项式方程的解,那么可以猜测它本质上是做不到的. 但应当认识到,有些特殊情形,化为根式在原理上是可能的. 但 Wolfram 系统找不到它. 最简单的例子是方程 ,但这里用根式表示的解是非常复杂的. 方程 是另一个例子,此时 是一个解.

这里给出一个包含6次多项式的 Root 对象.
In[10]:=
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Out[10]=
尽管存在单个的根式形式,ToRadicals 找不到它.
In[11]:=
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Out[11]=

4次以上的大多数多项式没有能用根式表示的根. 然而,5次时,根总能用椭圆或超几何函数表示. 但是结果太复杂,实际上是没有用的.

RootSum[f,form]对满足多项式方程 所有 的和
Normal[expr]具有 RootSumexprRoot 对象的显式和式代替的形式

根的和.

计算 的根的倒数的和.
In[12]:=
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Out[12]=
此式没有用根式表示的显式结果.
In[13]:=
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Out[13]=
这里将 RootSum 展开成为包含 Root 对象的显式和.
In[14]:=
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Out[14]=
RootApproximant[x]把数字 x 转换成一个近似的最简单的代数数
RootApproximant[x,n]求近似 x 的次数不超过 n 的代数数
这里从数值上逼近来复原 .
In[15]:=
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Out[15]=
在这种情况下,结果的次数不超过4.
In[16]:=
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Out[16]=
这里确认 Root 表达式对应于 .
In[17]:=
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Out[17]=