連続分布

ここに記載されている関数は,一変量の連続分布で最も一般的に使用されるものであり,連続分布の密度,平均,分散,その他の関連特性を計算することができる.分布は という記号形式で表現される.統計分布の特性を与えるMeanのような関数は,引数として分布の記号表現を取る.「離散分布」は多数の一般的な離散分布について記述する.

NormalDistribution[μ,σ]平均 μ,標準偏差 σ の正規(ガウス)分布
HalfNormalDistribution[θ]尺度がパラメータ θ に反比例する半正規分布
LogNormalDistribution[μ,σ]平均 μ,標準偏差 σ の正規分布に基づいた対数正規分布
InverseGaussianDistribution[μ,λ]平均 μ,尺度 λ の逆ガウス分布

正規分布に関連した分布

対数正規分布LogNormalDistribution[μ,σ]は正規分布に基づく確率変数の指数関数が従う分布である.この分布は多数の独立確率変数が乗法的に統合された場合に起る.半正規分布HalfNormalDistribution[θ]は領域に限られた分布NormalDistribution[0,1/(θ Sqrt[2/π])]に比例する

逆ガウス分布InverseGaussianDistribution[μ,λ]はワルド(Wald)分布とも呼ばれ,正のドリフト付きブラウン運動の初期通過時間の分布である.

ChiSquareDistribution[ν]自由度 ν分布
InverseChiSquareDistribution[ν]自由度 ν の逆 分布
FRatioDistribution[n,m]分子の自由度が n,分母の自由度が m である 分布
StudentTDistribution[ν]自由度が ν のスチューデントの t 分布
NoncentralChiSquareDistribution[ν,λ]自由度が ν,非心パラメータが λ の非心 分布
NoncentralStudentTDistribution[ν,δ]自由度が ν,非心パラメータが δ の非心スチューデントの t 分布
NoncentralFRatioDistribution[n,m,λ]分子の自由度が n,分母の自由度が m,非心パラメータが λ である非心 分布

正規分布に従う標本に関連する分布

,, が単位分散と零平均を持つ独立した正規確率変数ならば,は自由度 分布を持つという.正規変数からその平均を引き標準偏差で割ることにより標準化されると,その数量の平方和はこの分布に従う.分布は正規分布する標本の分散を記述する場合に最もよく用いられる.

もし が自由度 分布に従うならば, は逆 分布InverseChiSquareDistribution[ν]に従う.自由度が でスケールが のスケールされた逆 分布はInverseChiSquareDistribution[ν,ξ]として与えることができる.逆 分布は,正規分布に従う標本のベイズ分析における分散の事前分布として広く使われている.

スチューデントの 分布に従う変数は,正規確率変数の関数として書くこともできる. を独立した確率変数とする.ここで は標準的な正規分布, は自由度が 変数である.この場合, は自由度 分布となる.スチューデントの 分布は縦軸について対称であり,標準偏差に対する正規変数の割合が特徴となっている.位置およびスケールのパラメータはStudentTDistribution[μ,σ,ν]μσ として含めることができる.のとき, 分布はコーシー分布と同じである.

分布は2つの独立した 変数をそれぞれの自由度で割ったときの比の分布である.これは仮定検定で2つの母集団の分散を比較するときに広く使われる.

平均が非零の正規分布から派出する分布は非心分布と呼ばれる.

分散が で平均が非零である正規分布に従う 個の確率変数の平方和は,非心 分布NoncentralChiSquareDistribution[ν,λ]に従う.非心パラメータ は総和における確率変数の平均の2乗和である.文献によっては,非心パラメータとして が使われることがある.

非心スチューデントの 分布NoncentralStudentTDistribution[ν,δ]は,比 を記述する.ここで は自由度 確率変数, は分散 ,平均 の正規分布の独立した確率変数である.

非心 分布NoncentralFRatioDistribution[n,m,λ] に対する の比の分布である.ここで は非心パラメータ ,自由度 の非心 確率変数であり, は自由度 確率変数である.

TriangularDistribution[{a,b}]区間での対称三角分布
TriangularDistribution[{a,b},c]c で最大となる区間での三角分布
UniformDistribution[{min,max}]区間における一様分布

区分線形関数

三角分布TriangularDistribution[{a,b},c] および における最大確率内の に対する三角分布である.ならばTriangularDistribution[{a,b},c]は対称三角分布TriangularDistribution[{a,b}]である.

一様分布UniformDistribution[{min,max}]は, 矩形分布と呼ばれることもあり,値がどこにでも等しくあるような確率変数を特徴付ける.一様分布の確率変数の例には,min から max までの直線上でランダムに選んだ点の場所がある.

BetaDistribution[α,β]形状パラメータが αβ の連続ベータ分布
CauchyDistribution[a,b]位置パラメータが a,尺度パラメータが b のコーシー分布
ChiDistribution[ν]自由度 ν 分布
ExponentialDistribution[λ]尺度がパラメータ λ に反比例する指数分布
ExtremeValueDistribution[α,β]位置パラメータ α ,尺度パラメータ β の極値(Fisher-Tippett)分布
GammaDistribution[α,β]形状パラメータ α,尺度パラメータ λ のガンマ分布
GumbelDistribution[α,β]位置パラメータ α,尺度パラメータ β のガンベルの最小極値分布
InverseGammaDistribution[α,β]形状パラメータ α,尺度パラメータ λ の逆ガンマ分布
LaplaceDistribution[μ,β]平均 μ ,尺度パラメータ β のラプラス(二重指数)分布
LevyDistribution[μ,σ]位置パラメータ μ,拡散パラメータ σ のレヴィ分布
LogisticDistribution[μ,β]平均 μ,尺度パラメータ β のロジスティック分布
MaxwellDistribution[σ]尺度パラメータ σ のマックスウェル(マックスウェル・ボルツマン)分布
ParetoDistribution[k,α]最小値パラメータ k ,形状パラメータ α のパレート分布
RayleighDistribution[σ]尺度パラメータ σ のレイリー(Rayleigh)分布
WeibullDistribution[α,β]形状パラメータ α ,尺度パラメータ β のワイブル(Weibull)分布

その他の連続分布

上で一様に分布しているなら,確率変数のコーシー (Cauchy) 分布CauchyDistribution[a,b]に従う.

のとき,ガンマ分布GammaDistribution[α,λ] ユニットの正規確率変数の平方和に分布を記述する.この形式のガンマ分布は自由度 分布と呼ばれる.のとき,ガンマ分布は,イベント間の待ち時間を記述するのによく使われる指数分布ExponentialDistribution[λ]の形を取る.

もし確率変数 がガンマ分布GammaDistribution[α,β]に従うならば, は逆ガンマ分布InverseGammaDistribution[α,1/β]に従う.確率変数 InverseGammaDistribution[1/2,σ/2]に従うならば, はラヴィ分布LevyDistribution[μ,σ]に従う.

が,尺度パラメータが等しい別々のガンマ分布であるとき,確率変数はベータ分布BetaDistribution[α,β]に従う.ここで はガンマ変数の形状パラメータである.

分布ChiDistribution[ν]は, 確率変数の平方根が従う分布である.のときは, 分布はHalfNormalDistribution[θ]に等しい.のときは, 分布は のレイリー (Rayleigh) 分布RayleighDistribution[σ]に等しい.のときは 分布は のマックスウェル・ボルツマン(MaxwellBoltzmann)分布MaxwellDistribution[σ]に等しい.

ラプラス (Laplace) 分布LaplaceDistribution[μ,β]は,同一の指数分布を持つ2つの独立した確率変数の差の分布である.ロジスティック分布LogisticDistribution[μ,β]は裾の長い分布を望む場合に,正規分布の代りに頻繁に使われる.

パレート分布 (Pareto) 分布ParetoDistribution[k,α]は収入を表すために使われる. は最小の収入を示す.

ワイブル (Weibull) 分布WeibullDistribution[α,β]は,物体の寿命を記述するために工学で広く使われている.極値分布ExtremeValueDistribution[α,β]は,正規分布を含む多様な分布から抽出された大きい標本における最大値に対する極限分布である.このような標本の最小値に対する極限分布は,ガンベル(Gumbel)分布GumbelDistribution[α,β]である.最大極値と最小極値は,変数の線形変化により関連しているので,極値分布とガンベル分布は同じ意味で使われることがある.また極値分布した確率変数と,適切にシフト・スケールされたワイブル分布した確率変数との間には対数関係があるので,極値分布は対数ワイブル分布と呼ばれることもある.

PDF[dist,x]x における確率密度関数
CDF[dist,x]x における累積分布関数
InverseCDF[dist,q]CDF[dist,x]q に等しくなるような x の値
Quantile[dist,q]q 分位数
Mean[dist]平均
Variance[dist]分散
StandardDeviation[dist]標準偏差
Skewness[dist]歪度係数
Kurtosis[dist]尖度係数
CharacteristicFunction[dist,t]特性関数
Expectation[f[x],xdist]dist に従って分布する x に対する の期待値
Median[dist]中央値
Quartiles[dist]dist に対する番目の四分位数のリスト
InterquartileRange[dist]第1四分位数と第3四分位数の差分
QuartileDeviation[dist]四分位範囲の半分
QuartileSkewness[dist]四分位数ベースの歪度
RandomVariate[dist]指定された分布を持つ擬似乱数
RandomVariate[dist,dims]次元 dims で,指定された分布からの要素を持つ擬似乱数配列

分布の関数の例

上の表はWolfram言語における分布で利用できる一般的な関数をいくつか挙げたリストである.

における累積分布関数(CDF)は までの確率密度関数(PDF)の積分によって与えられる.従って確率密度関数は一般的な意味で累積分布関数を微分することによって得られる.このパッケージでは,分布は記号形式で与えられる.PDF[dist,x] が数値であれば における密度を評価し,数値でなければ関数を記号形式のままにしておく.同様にCDF[dist,x]は累積密度を与える.

逆累積分布関数InverseCDF[dist,q]CDF[dist,x] に達するときの の値を返す.中央値はInverseCDF[dist,1/2]により与えられる.四分位数,十分位数,百分位数は,逆累積分布関数の特定の値である.四分位数の歪度はと等価であり,ここで はそれぞれ第1,第2,第3の四分位数のことである.逆累積分布関数は統計パラメータの信頼区間を構築するときに使われる.InverseCDF[dist,q]Quantile[dist,q]は連続分布については等価である.

平均Mean[dist]dist に従って分布した確率変数の期待値であり,通常 と表記される.平均は によって与えられる.ここで とは分布の確率密度関数である.分散Variance[dist] によって与えられる.分散の平方根は標準偏差と呼ばれ,通常 で表記される.

Skewness[dist]Kurtosis[dist] の両関数は,それぞれ分布の非対称度と尖鋭を要約する形状の統計を与える.歪度は によって,尖度は によって与えられる.

特性関数CharacteristicFunction[dist,t] によって与えられる.離散の場合は,となる.各分布にはそれぞれ固有の特性関数があり,分布を定義するために確率密度関数の代りに使用されることもある.

関数 g の期待値Expectation[g[x],xdist]は, で与えられる.離散分布の場合,g の期待値は となる.

RandomVariate[dist]は指定された分布から擬似乱数を与える.

のガンマ分布の記号表現である.
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で評価された累積分布関数である.
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これがその累積分布関数である.組込み関数のGammaRegularizedによって与えられる.
In[3]:=
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Out[3]=
累積分布関数のプロットである.
In[4]:=
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Out[4]=
ガンマ分布に従って分布した要素を持つ擬似配列である.
In[5]:=
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