WOLFRAM言語チュートリアル

微分代数方程式の例

次は簡単な定数係数同次微分代数方程式である.
In[1]:=
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以下のようにして一般解を見付ける.この系では,2番目の方程式が との関係を指定しているので,任意定数が1つしかない.
In[2]:=
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Out[2]=
解を検証する.
In[3]:=
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Out[3]=
上記の例から導いた非同次系である.
In[4]:=
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一般解は,対応する同次系の一般解と非同次方程式の特殊解で構成される.
In[5]:=
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Out[5]=
上記の方程式の初期値問題を解く.
In[6]:=
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In[7]:=
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Out[7]=
これは,解と制約(代数)条件のプロットである.
In[8]:=
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Out[8]=
以下の微分代数方程式では,非同次部分が非常に一般的である.
In[9]:=
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In[10]:=
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ここでは,解に自由度がない(つまり,任意定数がない).それは,が代数的に与えられており,は微分を使って から一意に決定することができるからである.
In[11]:=
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Out[11]=
In[12]:=
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Out[12]=
この例では,代数制約が暗示的に存在している.3つの方程式はすべて未知関数の導関数を含む.
In[13]:=
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In[14]:=
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未知の関数の導関数に関するヤコビアンは特異であるので,それについて解くことはできない.
In[15]:=
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Out[15]=
In[16]:=
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Out[16]=
この問題では,一般解の任意定数の小さい方の数(3ではなく2である)により,微分代数的な性質が明確である.
In[17]:=
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Out[17]=

高階の導関数を持つ系は,一階の系に還元して解く.

以下は,定数係数二階同次微分代数方程式の一般解である.
In[18]:=
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In[19]:=
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Out[19]=
In[20]:=
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Out[20]=
この非同次常微分方程式系は,上の例に基づいたものである.
In[21]:=
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In[22]:=
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Out[22]=
In[23]:=
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Out[23]=
上の方程式系の初期値問題である.
In[24]:=
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In[25]:=
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Out[25]=
解をプロットする.
In[26]:=
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Out[26]=
最後に,三階常微分方程式を持つ系である.係数は厳密な数値なので,計算にはやや時間がかかる.
In[27]:=
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In[28]:=
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In[29]:=
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Out[29]=
In[30]:=
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Out[30]=

非線形の微分代数方程式,あるいは非定数係数を持つ微分代数方程式の記号解法は難しい.このような系は,Wolfram言語関数のNDSolveで数値的に解くことができることがよくある.