微分代数方程示例

下面是一个简单的常系数齐次微分代数方程.
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这是求其通解. 它只具有一个任意常数,因为方程组中的第二个方程指定了 之间的关系.
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Out[2]=
这里对解进行验证.
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Out[3]=
下面是一个从前面的例子引出的非齐次方程组.
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其通解由相应的齐次方程组的通解和非齐次方程组的一个特解组成.
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Out[5]=
这里是对前面的方程求解初值问题.
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Out[7]=
这是解和约束(代数)条件的图形.
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Out[8]=
在这个微分代数方程中,非齐次部分非常一般化.
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注意,在该解中没有自由度(即没有任意常量)由于 以代数形式给出,因此 可以使用微分从 唯一确定.
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Out[11]=
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Out[12]=
在下面例子中,代数约束以隐式出现;所有三个方程包含未知函数的导数.
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关于未知函数导数的雅可比是奇异的,所有不可能对它们进行求解.
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Out[15]=
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Out[16]=
该问题的微分代数特性从通解中较小数目的任意常量(两个而不是三个)可以很清楚地看到.
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Out[17]=

具有高阶导数的方程组是通过把它们简化为一阶方程组求解的.

下面是常系数二阶齐次微分代数方程的通解.
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In[19]:=
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Out[19]=
In[20]:=
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Out[20]=
以下非齐次常微分方程组是基于前面的例子.
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In[22]:=
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Out[22]=
In[23]:=
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Out[23]=
下面是前面的方程组的初值问题.
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Out[25]=
这里是解的图形.
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Out[26]=
最后,这里是三阶常微分方程组. 由于系数是精确量,计算需要花费一些时间.
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In[28]:=
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In[29]:=
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Out[29]=
In[30]:=
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Out[30]=

非线性或者具有非常量系数的微分代数方程的符号解是一个难题. 这样的方程组可以通过使用 Wolfram 语言函数 NDSolve 数值地求解.