常微分方程(ODE)概述

在纯科学和应用科学所感兴趣的常微分方程的研究中有四个主要的领域.

  • 精确解,是满足给定问题的闭式或者隐式的解析表达式.
  • 数值解,适用于更广泛的一类问题,但通常只对于自变量的有限范围有效.
  • 定性理论,它考虑解的全局属性,对于现代动力学系统的研究尤其重要.
    • 存在与唯一性定理,它确保只要微分方程满足某一组条件,就有某些符合期望属性的解.

    在这四个领域中,精确解的研究历史最长,可以追溯到 Sir Isaac Newton 和 Gottfried Wilhelm von Leibniz 刚发现微积分之后的时期. 下表介绍了可以使用 DSolve 求解的方程类型.

    方程名
    一般形式
    发现年份
    数学家
    可分1691G. Leibniz
    齐次1691G. Leibniz
    线性一阶常微分方程1694G. Leibniz
    伯努利1695James Bernoulli
    里卡蒂1724Count Riccati
    一阶全常微分方程 其中 1734L. Euler
    克莱罗1734A-C. Clairaut
    线性常系数 其中 为常量1743L. Euler
    超几何1769L. Euler
    勒让德1785M. Legendre
    贝赛尔1824F. Bessel
    马蒂厄1868E. Mathieu
    阿贝尔1834N. H. Abel
    西尼1924M. Chini

    属于这些类型的每一个的常微分方程的例子在教程的其它章节中给出(点击表中的链接会弹出相关的例子).