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リッカティ方程式

リッカティ(Riccati)方程式は,以下の形式

である二階線形常微分方程式である.この方程式は,リッカティ(1776-1754)が二階常微分方程式を解くときの助けとして使ったものである.

リッカティ方程式を解くことは,線形常微分方程式を解くのよりも難しい.

これは簡単なリッカティ方程式で,解は閉形式で求められる.
In[1]:=
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Out[1]=

リッカティ方程式はすべて二階線形常微分方程式に変換できる.二階線形常微分方程式が明示的に解ける場合は,リッカティ方程式の解を導くことができる.

以下はリッカティ方程式と,それに対応する二階常微分方程式のルジャンドル(Legendre)方程式である.
In[2]:=
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Out[2]=
In[3]:=
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Out[3]=
最後に,次のリッカティ方程式を考える.右辺の項の係数の和がゼロなので,これは積分可能である.
In[4]:=
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In[5]:=
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In[6]:=
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Out[6]=
In[7]:=
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Out[7]=
解を検証する.
In[8]:=
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Out[8]=