二阶偏微分方程

线性二阶偏微分方程的一般形式为:

这里 ,并且 仅仅是 的函数它们不依赖于 . 如果 ,则称该方程是齐次的.

包含二阶导数的前三项称为偏微分方程的主部( principal part ). 它们确定了方程通解的性质. 事实上,主部的系数可以用来对该偏微分方程进行如下分类.

偏微分方程称为是椭圆的,如果 . 拉普拉斯方程具有 ,因此是一个椭圆型偏微分方程.

偏微分方程称为是双曲的,如果 . 波动方程具有 ,因此它是一个双曲型偏微分方程.

偏微分方程称为是抛物线的,如果 . 热方程具有 ,因此它是一个抛物线型偏微分方程.

DSolve 可以找到一个严格类型的齐次线性二阶偏微分方程的通解;方程的形式如下

这里 是常量. 因此,DSolve 假定该方程具有常系数和一个消失的非主部部分.

下面是这三种基本型(椭圆、双曲和抛物)的一些例子,以及它们的重要性的解释.

下面是 拉普拉斯方程 一个椭圆型偏微分方程的通解.
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In[2]:=
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Out[2]=

该通解包含两个任意函数,C[1]C[2]. 这些函数的变量 表明当 C[2]0 时,沿着虚直线 的解是常量,当 C[1]0 时沿着 的解是常量. 这些直线称为该偏微分方程的特性曲线. 一般说来,椭圆型偏微分方程具有虚特性曲线.

下面是另一个椭圆偏微分方程.
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Out[3]=
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注意,方程的虚特性曲线(imaginary characteristic curves).
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下面对解进行验证.
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这里寻找波动方程一个双曲型偏微分方程的通解. 在波动方程中的常量 表示光速,而为方便起见在这里把它设置为1.
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Out[8]=

波动方程的特性曲线为 ,其中 是一个任意常数. 因此,该波动方程(或任何双曲型偏微分方程)具有两个实特性曲线族. 如果该波动方程的初始条件被指定,则解沿着特征线传播. 此外,任何特征线对决定了在它们交点处的观测者的零锥(null cone).

下面是双曲偏微分方程的另一个例子.
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Out[9]=
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注意,该方程具有两个实特征族.
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Out[11]=
下面对解进行验证.
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最后,下面是一个抛物线型偏微分方程的一个例子.
In[13]:=
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Out[13]=
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In[15]:=
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Out[15]=

该方程只具有一个实特征族,即线族 . 事实上,任意抛物线型偏微分方程只具有一个实特征族.

下面对该解进行验证.
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Out[16]=

热方程 是抛物线型的,但是这里不考虑它,因为它具有一个非零的非主部部分,DSolve 所使用的算法在这种情况下不可用.