问题是适定的吗?

如果没有指定初始条件或者边界条件,DSolve 返回问题的一个通解.

返回该方程的通解.
In[1]:=
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Out[1]=

然而,如果指定了初始条件或者边界条件,DSolve 的输出必须满足内部的微分方程以及给定的条件.

下面是一个具有一个边界条件的例子.
In[2]:=
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In[3]:=
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Out[3]=
In[4]:=
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Out[4]=

在这种情况下,检查是否对 DSolve 提出合理的问题是有用的换言之,要检查问题是否是适定的. 我们说一个初始问题或者边值问题是适定的,如果它的解确定存在在一些著名的函数类别(如,解析函数中),如果解是唯一的,以及如果解连续地依赖于数据. 给定一个 阶常微分方程(或者由 个一阶方程构成的方程组)和 个初始条件,有标准存在和位于性定理证明该问题在一个条件的指定集合中是适定的. 前面例子中的一阶线性常微分方程的右侧是关于 的一个多项式,因此是无限可微的. 这对于应用 Picard 存在和唯一性理论是足够的,因为该理论只要求右侧是 Lipschitz 连续的.

在实践中出现的大多数问题都是适定的,因为它们是从健全的理论原则导出的. 然而,一个值得注意的问题是,下面是一些 DSolve 可能难以找到令人满意的解的例子.

下面是一个一阶微分方程,其中右侧不能满足 0 周围的 Lipschitz 条件.
In[5]:=
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Out[5]=
该通解具有两个分支.
In[6]:=
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Out[6]=
该初值问题在初始条件附近的区域是适定的,因此 DSolve 成功地选出给定初始条件的正确分支.
In[7]:=
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Out[7]=
下面是一个二阶常微分方程. 边界条件不允许对该问题的任何解.
In[8]:=
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Out[8]=
在这个例子中,DSolve 返回一对解. 如表格中所示,第一个解只对于大于或者等于2的 x 值有效.
In[9]:=
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In[10]:=
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Out[10]=
In[11]:=
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Out[11]=

最后,这个问题可能有一个解,但是 DSolve 未能找到它,因为通解是以隐式的形式或者包含更高的超越函数.

在这个例子中,只有在改变应变量和自变量的角色后,一个解才是可行的.
In[12]:=
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Out[12]=
In[13]:=
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Out[13]=

到此我们结束了使用 DSolve 有效工作的基本原则的讨论. 参阅 "参考文献" 列表,以获得在 DSolve 开发过程中或者在该文档准备过程中的有效信息.