特征值和特征向量

Eigenvalues[m]m 的特征值列表
Eigenvectors[m]m 的特征向量的列表
Eigensystem[m]形如 {特征值,特征向量})的列表
Eigenvalues[N[m]]等.数字特征值
Eigenvalues[N[m,p]]等.p 位精度的数字特征值
CharacteristicPolynomial[m,x]m 的特征多项式

特征值和特征向量.

是矩阵 的特征值是指存在非零向量 使得 . 则称 为特征向量.

一个 × 矩阵的特征多项式 CharacteristicPolynomial[m,x]Det[m-x IdentityMatrix[n]] 给出. 特征值是这个多项式的根.

× 矩阵的特征值一般涉及到求 次多项式方程. 因此,对 ,结果一般不能用显式根式来表达. 然而,总是可以使用 Root 对象,尽管除了相当稀疏或简单的矩阵之外所得的表达式是很复杂的.

即使这么简单的矩阵,特征值的显式形式也是相当复杂的.
In[1]:=
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Out[1]=

对近似实数矩阵,Wolfram 语言将求出近似数值特征值和特征向量.

这是一个 2×2 数值矩阵.
In[2]:=
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Out[2]=
该矩阵有两个特征值,均为实数.
In[3]:=
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Out[3]=
这是 的两个特征向量.
In[4]:=
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Out[4]=
Eigensystem 同时计算特征值和特征向量,给 赋以特征值列表,给 赋以特征向量列表.
In[5]:=
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Out[5]=
这里证实第一个特征值和特征向量满足适当的条件.
In[6]:=
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Out[6]=
这里求 4×4 随机矩阵的特征值,对非对称矩阵,特征值会有虚部.
In[7]:=
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Out[7]=

× 矩阵,Eigenvalues 总是给出一个 个特征值的列表. 特征值是矩阵的特征多项式的根,可能是相同的. 另一方面,Eigenvectors 给出相互独立的特征向量的列表. 当特征向量的数目小于 时,Eigenvectors 将在列表中添加零向量,使列表的长度总为 .

这是一个 3×3 矩阵.
In[8]:=
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Out[8]=
这个矩阵有三个特征值,都等于0.
In[9]:=
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Out[9]=
但是,该矩阵仅有一个独立的特征向量. 此时,Eigenvectors 添加两个零向量给出总共三个向量.
In[10]:=
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Out[10]=
这里给出矩阵的特征多项式.
In[11]:=
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Out[11]=
Eigenvalues[m,k]m 的最大的 k 个特征值
Eigenvectors[m,k]m 的相应的特征向量
Eigensystem[m,k]m 的最大的 k 个特征值以及相应的特征向量
Eigenvalues[m,-k]m 的最小的 k 个特征值
Eigenvectors[m,-k]m 的相应的特征向量
Eigensystem[m,-k]m 的最小的 k 个特征值以及相应的特征向量

求解最大的和最小的特征值.

Eigenvalues 对数值特征值进行排序,使得绝对值大的排在最先. 在很多情况下,也许仅对矩阵的最大或最小的特征值感兴趣. 能用 Eigenvalues[m,k]Eigenvalues[m,-k] 来得到它们.

这里计算一个整数矩阵的精确特征值.
In[12]:=
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Out[12]=
特征值按递减值的顺序排列.
In[13]:=
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Out[13]=
这里给出三个绝对值最大的特征值.
In[14]:=
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Out[14]=
Eigenvalues[{m,a}]相对于 am 的广义特征值
Eigenvectors[{m,a}]相对于 am 的广义特征向量
Eigensystem[{m,a}]相对于 am 的广义特征系统
CharacteristicPolynomial[{m,a},x]相对于 am 的广义特征多项式

广义特征值、特征向量和特征多项式.

相对于矩阵 的,矩阵 的广义特征值定义为使得 成立的那些 .

广义特征值对应于广义特征多项式 Det[m-x a] 的零点.

注意,尽管普通矩阵的特征值总有确定数值,如果广义特征多项式变为零,某些广义特征值将总是 Indeterminate,这会在 共享一个零空间时发生. 也注意,广义特征值可以是无穷的.

这两个矩阵共享一个一维的零空间,所以一个广义特征值是 Indeterminate.
In[15]:=
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Out[15]=
这里给出一个广义特征多项式.
In[16]:=
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Out[16]=