極限を求める

計算を進めていくと,変数が特定の値を取り,式を評価する必要が出てくる.その多くの場合には,単に置換演算子を使い変換規則を適用することで対処できる.

が0のときのの値を求めるには,単に を0におけばよい.
In[1]:=
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Out[1]=

ところが,場合によっては特別な配慮をしなければならないときがある.

例えば,のときのの値を考えてみよう.単純に を0に置き換えると答は不定,つまり,になってしまう.の点におけるの正しい値を求めるには極限を取らなければならない.

Limit[expr,x->x0]exprxに接近していったときの極限を求める

極限を求める

のときのの極限を求める.正確な値が求まる.
In[2]:=
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Out[2]=
この式には有限の極限値が存在しない.
In[3]:=
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Out[3]=
をベキ級数に展開できなくても,Limitでその極限は求まる.
In[4]:=
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Out[4]=
この例でも同じことが言える.
In[5]:=
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Out[5]=
Sign[x]での値は0
In[6]:=
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Out[6]=
しかし,極限値はである.極限はデフォルトで上から取られる.
In[7]:=
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Out[7]=

ある点についてすべての関数が極限を持っているとは限らない.例えば,関数の近傍で激しく振動するため,定まった極限を持たない.とはいうものの, が実数である限り の近傍における関数の値は必ずからの範囲にある.極限がある有限の幅の中を動くとき,LimitIntervalを使ってその区間を示す.Interval[{xminは,不確定な極限の値が から の間にあることを示す.

Limitを作用させるとIntervalオブジェクトが返ってくる.同オブジェクトは真性特異点である 近傍においてが取り得る値の範囲を表している.
In[8]:=
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Out[8]=
Intervalオブジェクトには演算操作が行える.
In[9]:=
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Out[9]=
Intervalオブジェクトが使われ極限がシンボル的に表される.
In[10]:=
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Out[10]=

関数によっては,どの方向から接近していくかにより極限が異なるものがある.LimitにオプションDirectionの設定を行うことで,方向が指定できる.

Limit[expr,x->x0,Direction->1]xに下から接近したときの極限を求める
Limit[expr,x->x0,Direction->-1]x に上から接近したときの極限を求める

接近方向と極限

に左から接近するか右から接近するかにより は異なる極限を持つ.
In[11]:=
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Out[11]=
下から接近すると極限はになる.
In[12]:=
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Out[12]=
上から接近すると極限はである.
In[13]:=
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Out[13]=

等の未知の関数に対してLimitを適用しても,関数の特性が判明していないため,Limitはシンボル的な関数の形に留められ,評価は行われない.

が未知なため,Limitは未評価のまま残される.
In[14]:=
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Out[14]=