群论算法

本教程介绍一些不同于 "置换群" 教程中的计算有限置换群的一些基本算法.

陪集表示

的子群 元素列表分割成不相交的子集,称作 的陪集, 是其中的一个,其余的形式为 ,其中 的某个元素, 表示乘积律. 识别陪集的一个方法是从每个陪集中选择一个代表,比如陪集中的最小元素.

RightCosetRepresentative计算陪集中的最小群元素

计算一个标准的陪集表示.

用两个置换产生群.
In[1]:=
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Out[2]=
该群分割 为210个不相交的陪集.
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Out[3]=
给出任意的其它置换,有可能列出其相关的右陪集的元素.
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Out[5]=
右陪集的典型表示是由图像定义的顺序中的最小置换.
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Out[6]=
直接构建典型的表示,而无需列出陪集中的置换.
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Out[7]=
验证这是陪集中的最小秩置换(在群 中).
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Out[9]=
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Out[10]=
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Out[11]=
对于更大的群,不可能列出或排序所有的置换,但是您仍然可以使用 RightCosetRepresentative.
用两个置换构建群.
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这是由群 中导入的陪集数.
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Out[13]=
对于任何属于群自身的置换,其典型的表示总是单位置换.
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Out[14]=
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Out[15]=
采用 中的一些随机置换.
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Out[16]=
这是它的陪集表示.
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Out[17]=
验证该表示确实属于同一陪集. 如果在原群中存在置换 h,即permPermutationProduct[h,rep] 就是这样的一个例子.
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Out[18]=
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Out[19]=

中心化子

在群 中的一个元素 的中心化子 是与 交换的 元素的子群.

GroupCentralizer计算某些群元素的中心化子子群

中心化子的计算.

获得群.
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Out[21]=
选择置换.
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这是群中的中心化子.
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Out[23]=
In[24]:=
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Out[24]=
通过直接计算群中的所有换位子验证结果.
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Out[27]=
In[28]:=
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Out[28]=

集合式稳定子

的(逐点)稳定子群是固定作用域的一个或多个点集的 元素的子群. 这个概念可以延伸到集合式稳定子群,它是可以固定那些点或使之在彼此间移动的元素的子群.

GroupSetwiseStabilizer计算点列表的集合式稳定子群

集合式稳定子群的计算.

再次生成群.
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Out[30]=
这是稳定的点的列表.
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Out[32]=
集合式稳定子的置换作用改变了列表的单个元素,但是总是与列表的其它元素相匹配.
In[33]:=
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比较元素的同样列表中的(逐点)稳定子群. 只包括列表中置换稳定的所有元素.
In[34]:=
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Out[34]=
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Out[35]=