积分变换和相关运算

拉普拉斯变换

LaplaceTransform[expr,t,s]expr 的拉普拉斯变换
InverseLaplaceTransform[expr,s,t]expr 的拉普拉斯反变换

一维拉普拉斯变换.

函数 的拉普拉斯变换定义为 . 的拉普拉斯反变换由 给出,其中 是一个适当的实数.

这是一个简单的拉普拉斯变换.
In[1]:=
Click for copyable input
Out[1]=
这是其反变换.
In[2]:=
Click for copyable input
Out[2]=
即使简单函数的变换也常常包含特殊函数.
In[3]:=
Click for copyable input
Out[3]=
这个结果包含梅杰 G 函数.
In[4]:=
Click for copyable input
Out[4]=
InverseLaplaceTransform 返回原函数.
In[6]:=
Click for copyable input
Out[6]=
该贝塞尔函数的拉普拉斯变换仅涉及到初等函数.
In[5]:=
Click for copyable input
Out[5]=

拉普拉斯变换能把积分和微分运算转换为基本代数运算. 因此常常被用于研究微分方程确定的系统.

通过拉普拉斯变换,积分变为与 的乘法运算.
In[6]:=
Click for copyable input
Out[6]=
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,},{s1,s2,}]
expr 多维拉普拉斯变换
InverseLaplaceTransform[expr,{s1,s2,},{t1,t2,}]
expr 多维拉普拉斯反变换

多维拉普拉斯变换.

傅立叶变换

FourierTransform[expr,t,ω]expr 的傅立叶变换
InverseFourierTransform[expr,ω,t]expr 的傅立叶反变换

一维傅立叶变换.

积分变换能生成包含形如 HeavisideTheta"广义函数".
In[1]:=
Click for copyable input
Out[1]=
这里求反变换.
In[2]:=
Click for copyable input
Out[2]=

在 Wolfram 语言中,函数 的傅立叶变换默认其定义为 . 的的傅立叶反变换由 给出.

在不同的学科中,对傅立叶变换的定义有不同的规定. Wolfram 语言中的选项 FourierParameters 允许用户选择某个规定.

常见规定设置傅立叶变换傅立叶反变换
Wolfram 语言缺省值
纯粹数学
古典物理
现代物理
系统工程
信号处理{0,-2Pi}
一般情形

在各种规定下,对 FourierParameters 的设置.

这是带有缺省参数值的傅立叶变换.
In[3]:=
Click for copyable input
Out[3]=
这是同一个傅立叶变换,其参数选择按照信号处理中的规定.
In[4]:=
Click for copyable input
Out[4]=
FourierSinTransform[expr,t,ω]傅立叶正弦变换
FourierCosTransform[expr,t,ω]傅立叶余弦变换
InverseFourierSinTransform[expr,ω,t]
傅立叶反正弦变换
InverseFourierCosTransform[expr,ω,t]
傅立叶反余弦变换

傅立叶正弦变换和余弦变换.

在傅立叶变换的某些应用中,避免引入副指数会带来方便. 傅立叶正弦变换和余弦变换分别对应于 ,而不是 ,积分限是从 0 到 而不是从 .

这是 的傅立叶正弦变换和余弦变换.
In[5]:=
Click for copyable input
Out[5]=
FourierTransform[expr,{t1,t2,},{ω1,ω2,}]
expr 的多维傅立叶变换
InverseFourierTransform[expr,{ω1,ω2,},{t1,t2,}]
expr 的多维傅立叶反变换
FourierSinTransform[expr,{t1,t2,},{ω1,ω2,}], FourierCosTransform[expr,{t1,t2,},{ω1,ω2,}]
expr 的多维傅立叶正弦和余弦变换
InverseFourierSinTransform[expr,{ω1,ω2,},{t1,t2,}], InverseFourierCosTransform[expr,{ω1,ω2,},{t1,t2,}]
expr 的多维傅立叶正弦和余弦反变换

多维傅立叶变换.

这是一个二维傅立叶变换.
In[6]:=
Click for copyable input
Out[6]=
这是其反变换.
In[7]:=
Click for copyable input
Out[7]=

Z 变换

ZTransform[expr,n,z]expr 的 Z 变换
InverseZTransform[expr,z,n]expr 的 Z 反变换

Z 变换.

函数 的Z 变换定义为: . 的 Z 反变换由围道积分 给出. Z 变换是拉普拉斯变换在离散情况下的对应变换. 它广泛应用于求解差分方程,特别在数字信号处理和控制论中. 它能被看作生成母函数, 常常用于组合数学和数论中.

此处计算 的Z 变换.
In[1]:=
Click for copyable input
Out[1]=
这是其 Z 反变换.
In[2]:=
Click for copyable input
Out[2]=
的母函数是指数函数.
In[3]:=
Click for copyable input
Out[3]=