幂级数展开式

Series[expr,{x,x0,n}]expr 处最高到 阶项的幂级数展开式
Series[expr,{x,x0,nx},{y,y0,ny}]
求先对 y 后对 x 的级数展开式

建立幂级数的函数.

这是 处到  阶项的幂级数展开式.
In[1]:=
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Out[1]=
这是 处的幂级数展开式.
In[2]:=
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Out[2]=
如果 Wolfram 语言不知道某个函数的幂级数展开式,则用导数写出符号结果.
In[3]:=
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Out[3]=

作为数学术语,Series 可以看作是一种构造函数的泰勒级数的方法.

阶导数为 的函数 处的泰勒级数展开式的标准公式为 . 使用该公式得到与使用 Series 一样的结果.(对常见函数,Series 使用某种更有效的算法.)

Series 也能生成某些包含分数和负数幂的幂级数,这是标准泰勒公式所不具有的.

这是一个包含 x 的负数幂的幂级数.
In[4]:=
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Out[4]=
这是一个包含 x 的分数次幂的幂级数.
In[5]:=
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Out[5]=
Series 也能处理包含对数的级数.
In[6]:=
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Out[6]=

有些数学函数不存在标准幂级数,Wolfram 语言能识别许多这种情形.

Series 看出 有本性奇点 ,故不求其幂级数.
In[7]:=
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Out[7]=
然而 Series 能给出 处的幂级数.
In[8]:=
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Out[8]=

特别当出现负数幂时,Series 生成的特定幂级数有多少项是一个微妙的问题.

理解此问题的一个方法是比较取一定阶的幂级数与取一定精度的实数之间的相似之处. 幂级数作为近似公式,这一点与有限精度的实数是近似数完全相似.

Series 在构造幂级数中遵循的步骤非常类似于 N 在构造实数近似值中遵循的步骤. 二者都从用有限阶或有限精度的近似代替表达式中的最小元素开始,然后计算结果表达式. 如果有消约,这个过程可能给出的最终结果其阶或精度都会小于用户所要求的. 然而,如同 NSeries 有能力重试计算,以使得到的结果具有用户要求的阶. 如果不成功,用户通过指定更高的阶数,仍然可以得到特定阶的结果.

Series 补偿这个计算中的消约,能成功给出 阶的结果.
In[9]:=
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Out[9]=

当关于 x 求幂级数展开式时,Wolfram 语言假定不显含 x 的所有对象与 x 无关. 这样,Series 使用 D 求偏导数来建立泰勒级数.

被假定与 无关.
In[10]:=
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Out[10]=
现在是 的显函数.
In[11]:=
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Out[11]=

Series 可以生成多个变量的幂级数. Series 对变量的运算顺序与 IntegrateSum 等是一样的,首先展开的是最后一个指定的变量.

Series 关于每个变量依次执行级数展开. 这种情况下,结果是一个 的级数,其系数是 的级数.
In[12]:=
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Out[12]=