已命名的群

Wolfram 语言对许多重要的有限群提供置换表示. 其中有些是无限族的成员,被一个或多个整数参数化;其它群按它们特殊的属性被单独区分,且经常以它们的发现者来命名.

10次交错群.
In[1]:=
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Out[1]=
计算阶数.
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Out[2]=
给出显式置换表示的生成元.
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Out[3]=
从这些生成元中,可以重新显式构建群.
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Out[4]=
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Out[5]=

Wolfram 语言为以下群的无限族以及一些不属于参数化系列的群提供信息.

SymmetricGroup[n]n 次对称群
AlternatingGroup[n]n 次交错群
CyclicGroup[n]n 阶循环群
DihedralGroup[n]2n 阶,n 边形的二面体群
AbelianGroup[{n1,n2,}]同构于多个循环群直积的阿贝尔(Abel)群

已命名的群的无限族.

马提厄(Mathieu)群

以下5个 Mathieu 群是5个在19世纪的下半叶首先被发现的散在单群,它们都是多重传递群而且均是最大群的子群. Wolfram 语言为它们提供默认的置换表示.

MathieuGroupM11第一个 Mathieu 群,作用于11个点
MathieuGroupM12第二个 Mathieu 群,作用于12个点
MathieuGroupM22第三个 Mathieu 群,作用于22个点
MathieuGroupM23第四个 Mathieu 群,作用于23个点
MathieuGroupM24第五个 Mathieu 群,作用于24个点

Mathieu 群.

以下是5个散在 Mathieu 单群的阶数.
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Out[6]=
作用于24个点的 MathieuGroupM24 置换表示的显式生成元.
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为了显示 MathieuGroupM24 是5可递的,验证群自身以及其首四个稳定子群的传递性.
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然而,5点的稳定子群不是可传递的,因为其作用分成两个非平凡的轨道.
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以下是群中一个基的点的稳定子群的阶数. 它们对应与群 MathieuGroupM24MathieuGroupM23MathieuGroupM22,以及其它三个群,有时称为Mathieu 群 、Mathieu 群 、以及 Mathieu 群 ,但并不是单群. 最后是阶数为3的循环群和平凡群.
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Out[15]=
一个类似的链可以从 MathieuGroupM12 中获得. 其包含 MathieuGroupM11 以及非单群,Mathieu 群 ,Mathieu 群 以及 Mathieu 群 ,最后是平凡群.
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Out[16]=
已经发现,MathieuGroupM24 中最大的置换阶数是 23. 以下是一个例子.
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Out[18]=
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Out[19]=

其它散在单群

有26个散在单群(如果包括 Tits 群则有27个). 除了5个 Mathieu 群,Wolfram 语言对于那些中等支撑长度的群提供置换表示. 最大的因为太大了而实际中不能以置换群来处理,而以矩阵群表示则更有效. 以下是13个群(包括 Tits 群),它们在少于50000个点的域中表示是已知的.

HigmanSimsGroupHS希格曼-西姆斯(HigmanSims)散在单群
McLaughlinGroupMcL麦克劳林(McLaughlin)散在单群
JankoGroupJ1詹柯(Janko)散在单群
JankoGroupJ2詹柯(Janko)散在单群
JankoGroupJ3詹柯(Janko)散在单群
ConwayGroupCo2康威(Conway)散在单群p
ConwayGroupCo3康威(Conway)散在单群
SuzukiGroupSuz铃木(Suzuki)散在单群
HeldGroupHe赫尔得(Held)散在单群
RudvalisGroupRu路多里斯(Rudvalis)散在单群
FischerGroupFi22费歇尔(Fischer)散在单群
FischerGroupFi23费歇尔(Fischer)散在单群
TitsGroupTTits 单群

中等散在单群.

一些散在群与 Leech 点格的对称性相关,它是欧几里德(Euclidean)24维空间的一个特殊点格. 这些群有时被称为第二代散在单群.

第二代的六个群.
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它们的群阶数为:
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Out[21]=
以下是提供的表示式的置换次数.
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Out[22]=
例如,作用于100个点的 JankoGroupJ2 的生成元.
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这是群中最后的一个置换.
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Out[24]=
这是它的相应的像的列表.
In[25]:=
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Out[25]=
这是作用于2300个点的 ConwayGroupCo2 的稳定子群的链. 其基只有6个点,因此,只要知道这6个点的像就足以唯一确定群中的每个置换.
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Out[26]=
以下是在少于50000个点上可用置换群表示的其它散在单群.
In[27]:=
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它们的阶数和次数显示如下.
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Out[28]=
In[29]:=
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Out[29]=
ONanGroupON欧南(O'Nan) 散在单群
HaradaNortonGroupHN原田-诺顿(HaradaNorton)散在单群
ConwayGroupCo1康威(Conway)散在单群
FischerGroupFi24Prime费歇尔(Fischer)散在单群
ThompsonGroupTh汤普森(Thompson)散在单群
JankoGroupJ4詹柯(Janko)散在单群
LyonsGroupLy里昂(Lyons)散在单群
BabyMonsterGroupB子怪兽(baby monster)散在单群
MonsterGroupM怪兽(Monster)群

大型散在单群.

最后,剩下的散在群以及它们的阶数显示如下.J_4
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In[32]:=
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Out[32]=