多項式の直交系

LegendreP[n,x]ルジャンドルの多項式
LegendreP[n,m,x]ルジャンドルの陪多項式
SphericalHarmonicY[l,m,θ,ϕ]球面調和関数
GegenbauerC[n,m,x]ゲーゲンバウアの多項式 C_n^((m))(x)
ChebyshevT[n,x], ChebyshevU[n,x]
第一種チェビシェフの多項式 と第二種チェビシェフの多項式
HermiteH[n,x]エルミートの多項式
LaguerreL[n,x]ラゲールの多項式
LaguerreL[n,a,x]ラゲールの一般化多項式
ZernikeR[n,m,x] ゼルニケのラジアル多項式
JacobiP[n,a,b,x]ヤコビの多項式

多項式の直交系

ルジャンドルの多項式LegendreP[n,x]は,球対称系の問題で使われる.この多項式は微分方程式を満たし,また, のとき,直交関係 を満たす.

ルジャンドルの陪多項式LegendreP[n,m,x]は,ルジャンドルの多項式の導関数を用いて で与えられる.奇数の整数 とき,のベキを含むため,厳密には多項式にならないことに注意のこと.また,のとき,に帰着する.

球面調和関数SphericalHarmonicY[l,m,θ,ϕ]は,ルジャンドルの陪多項式に関連して定義される.または のとき,同関数は直交関係 を満たす.ここで は単位球面について積分することを示す.

ルジャンドルの多項式 を多項式に展開する.
In[1]:=
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Out[1]=
ルジャンドルの多項式の持つ直交性により, はゼロになる.
In[2]:=
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Out[2]=
ルジャンドルの多項式を2乗し積分すると,ゼロにはならない.
In[3]:=
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Out[3]=
高次のルジャンドル多項式は振動しながら急速に増大する.
In[4]:=
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Out[4]=
ルジャンドルの陪「多項式」は分数ベキを含む.
In[5]:=
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Out[5]=
「特殊関数」にあるように,ルジャンドルの多項式は非整数の次数を持つルジャンドル関数に一般化される.
In[6]:=
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Out[6]=

ゲーゲンバウア(Gegenbauer)の多項式GegenbauerC[n,m,x]は,次元の球対称の系に対して一般化されたルジャンドルの多項式と見ることができる.また,このために超球関数とも呼ばれる.

GegenbauerC[n,0,x]は常に0になるが,GegenbauerC[n,x]は,極限 で与えられる.後者は とも記述される.

チェビシェフ(Chebyshev)の多項式は関数の近似値を求めるのによく使われる.第一種チェビシェフの多項式ChebyshevT[n,x]で定義され,になるように標準化されている.この多項式は のとき,直交関係 を満たす.さらに,の根に相当する の離散点で和を取っても直交関係を満たす.

第二種チェビシェフの多項式ChebyshevU[n,z]は, で定義される.この定義から となる.また, のとき直交関係 を満たす.

「Chebyshev」という名前はロシア語のキリル文字の英語読みからきている.「Tschebyscheff」等と綴られることもある.

エルミート(Hermite)の多項式HermiteH[n,x]は,量子力学における調和振動子の波動関数に使われる.これは,微分方程式 を満たし,さらに のとき,直交関係 を満たす.エルミートの多項式はこの他に という別の形も使われることがある.(の,全く異なる標準化が用いられることもある.)

エルミートの多項式は,ウェーバー(Weber)関数とも呼ばれる放物柱面関数 の関係式で関連している.

量子力学における調和振動子の励起状態の密度をプロットする.振幅値の平均が古典力学の結果に近くなる.
In[7]:=
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Out[7]=

ラゲール(Laguerre)の一般多項式LaguerreL[n,a,x]は,量子力学における水素原子の波動関数に関係している.同多項式は,微分方程式 を満たし,さらに のとき直交関係 も満たす.ラゲールの多項式LaguerreL[n,x]は,一般式の特殊な場合 に対応している.

任意の数 に対しラゲール一般多項式を得る.
In[8]:=
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Out[8]=

ゼルニケのラジアル多項式ZernikeR[n,m,x] は光学における収差の研究に使われ, のとき直交関係 を満足する.

ヤコビの多項式JacobiP[n,a,b,x]は,量子力学等の回転群の問題でよく使われる.同多項式は, のとき直交関係 を満たす.ルジャンドル,ゲーゲンバウア,チェビシェフの多項式はすべてヤコビの多項式の特殊形ともみなせる.ヤコビの多項式が の関係式で定義されるときもある.