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対称式

変数 の対称式とは, を任意に置換しても不変の多項式のことである.以下の多項式

は変数 の基本対称式と呼ばれる.

対称式の基本定理によると,, の対称式はすべて の基本対称式の多項式として表すことができる.

変数の順番が固定されているときは,任意の多項式 は, の対称部分と呼ばれる対称式 と,降順の単項式を含まない剰余 の和として表される.単項式 であり,かつその場合に限り降順であるという.

SymmetricPolynomial[k,{x1,,xn}]変数 次基本対称式
SymmetricReduction[f,{x1,,xn}] となるような の多項式のペアを返す.ここで は対称部分, は剰余である
SymmetricReduction[f,{x1,,xn},{s1,,sn}]
の基本対称式を で置換したペアを返す

対称式計算のための関数

これは4つの変数についての三次基本対称式である.
In[1]:=
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Out[1]=
基本対称式についての多項式を書く.入力した多項式が対称なので,剰余はゼロである.
In[2]:=
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Out[2]=
対称部分の基本対称式が,変数 で置き換えられている.多項式は対称ではないので,剰余はゼロにならない.
In[3]:=
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Out[3]=
SymmetricReductionは記号係数を持つ多項式に適用することができる.
In[4]:=
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Out[4]=