对称多项式

为变量的对称多项式 是在 的任意排列下不变的多项式. 多项式

被称为 初等对称多项式 ,其自变量为 .

对称多项式的基本定理告诉我们,每个自变量为 的对称多项式都可以表示为由自变量为 的初等对称多项式组成的多项式.

当变量的顺序固定的时候,任意多项式 可以被唯一地表示为一个对称多项式 ,称为 的对称部分,和一个不包含降幂单项式的余项 的和. 一个单项式 是降幂的,当且仅当 .

SymmetricPolynomial[k,{x1,,xn}]给出自变量为 的第 个初等对称多项式
SymmetricReduction[f,{x1,,xn}]给出一对自变量为 的多项式 ,使得 ,其中 是对称部分, 是余项
SymmetricReduction[f,{x1,,xn},{s1,,sn}]
给出一对多项式 ,其中 中的初等对称多项式由 取代

用于对称多项式计算的函数.

这是具有四个变量的三次初等对称多项式.
In[1]:=
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Out[1]=
这里使用初等对称多项式表示多项式 . 输入的多项式是对称的,因此,余项为零.
In[2]:=
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Out[2]=
这里对称部分的初等对称多项式由变量 取代. 该多项式不是对称的,因此余项不为零.
In[3]:=
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Out[3]=
SymmetricReduction 可用于具有符号系数的多项式.
In[4]:=
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Out[4]=