带有特殊函数的运算

自动计算指定变量的精确结果
N[expr,n]任何精度的数值近似
D[expr,x]导数的精确结果
N[D[expr,x]]导数的数值近似
Series[expr,{x,x0,n}]级数展开
Integrate[expr,x]积分的精确结果
NIntegrate[expr,x]积分的数值近似
FindRoot[expr==0,{x,x0}]方程根的数值近似

特殊函数的一些常见运算.

当给定自变量时,大多数特殊函数有较为简单的形式. 在这种情形时,Wolfram 系统将自动化简特殊函数.

Wolfram 系统自动用标准数学常数写出此式.
In[1]:=
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Out[1]=
Wolfram 系统把特殊情形的 Airy 函数化简为包含伽马函数的表达式.
In[2]:=
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Out[2]=

对于大多数自变量的值,特殊函数可能不能精确地化简. 但在这种情况下,Wolfram 系统允许求任意精度的数值近似. Wolfram 系统的内置算法基本覆盖了特殊函数的所有参数值实数值或复数值.

此式没有精确结果.
In[3]:=
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Out[3]=
这里给出40位精度的数值近似.
In[4]:=
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Out[4]=
此结果是一个巨大的复数,但 Wolfram 系统仍能求出它.
In[5]:=
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Out[5]=

大部分特殊方程有能用基本函数或其它特殊函数表示的导数. 但即使对导数不能明显表示的情况,也能使用 N 求出导数的数值近似值.

这个导数的结果用基本函数表示.
In[6]:=
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Out[6]=
在点3处计算伽马函数的导数.
In[7]:=
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Out[7]=
ζ 函数的这个导数没有精确公式.
In[8]:=
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Out[8]=
使用 N 给出数值近似.
In[9]:=
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Out[9]=

Wolfram 系统收集了大量的特殊函数的知识,基本包括多年来已经导出的所有结果. 当用户对特殊函数进行运算时,将需要这些知识.

这是一个 Fresnel 函数的级数展开式.
In[10]:=
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Out[10]=
Wolfram 系统知道如何计算涉及特殊函数的大范围积分.
In[11]:=
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Out[11]=

带有特殊函数的运算的一个特点是在不同的函数之间存在大量的关系,并且这些关系常能用来化简表达式.

FullSimplify[expr]使用广泛的变换规则化简 expr

化简涉及特殊函数的表达式.

这里使用伽马函数的反演公式.
In[12]:=
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Out[12]=
这里利用切比雪夫多项式的表达式.
In[13]:=
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Out[13]=
Airy 函数与贝塞尔函数有关系.
In[14]:=
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Out[14]=
FunctionExpand[expr]展开特殊函数

处理涉及特殊函数的表达式.

这里将高斯超几何函数展开为较简单的函数.
In[15]:=
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Out[15]=
这是一个涉及贝塞尔函数的例子.
In[16]:=
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Out[16]=
这是的最终结果甚至不涉及 PolyGamma.
In[17]:=
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Out[17]=
这里得到了 Hurwitz ζ 函数的导数的表达式.
In[18]:=
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Out[18]=