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Die Rolle dieses BuchesInhalt

Vorschläge zur Einarbeitung in Mathematica

Zur Einführung

Wie bei jeder anderen Software gibt es auch bei Mathematica einige Fertigkeiten, die man beherrschen muß, ehe man das Programm auch nur starten kann. So muß man zum Beispiel wissen, wie man Eingaben an Mathematica übergibt. Über diese Dinge informieren Sie sich am besten im ersten Abschnitt des 1. Teils dieses Buches.

Sobald Sie diese Grundlagen beherrschen, können Sie damit anfangen, ein Gefühl für Mathematica zu entwickeln, indem Sie einige Beispiele dieses Buches eingeben. Sie sollten dabei darauf achten, daß Sie genau das eingeben, was hier im Buch geschrieben steht—ändern Sie also keine Groß-/Kleinschreibung, keine Klammersetzung usw.

Nachdem Sie einige Beispiele aus diesem Buch durchprobiert haben, sollten Sie damit beginnen, selbst zu experimentieren. Ändern Sie die Beispiele geringfügig und achten Sie darauf, was geschieht. Sie sollten jeden Output sorgfältig prüfen und versuchen, zu verstehen, warum er gerade so herauskam.

Nachdem Sie einige einfache Beispiele durchgegangen sind, sollten Sie für den nächsten Schritt gerüstet sein: Lernen, was zur Lösung eines vollständigen Problems mit Mathematica notwendig ist.

Lösen eines vollständigen Problems

Wahrscheinlich werden Sie es am besten finden, ein konkretes Problem zu bearbeiten. Nehmen Sie eines, das Sie gut kennen—am besten eines, dessen Lösung Sie mit Papier und Bleistift nachvollziehen können. Dann sollten Sie jeden Lösungsschritt einzeln durchgehen, um herauszufinden, welche Teile von Mathematica Sie zur Implementierung kennen müssen. Scheuen Sie sich auch nicht, immer mal wieder mit einfachen Fällen zu experimentieren und die Ergebnisse, die diese liefern, zu verstehen, ehe Sie zu Ihrem ursprünglichen Problem zurückkehren.

Während Sie die Schritte zur Lösung Ihres Problems durcharbeiten, werden Sie verschiedene besondere Eigenschaften von Mathematica kennenlernen, insbesondere in Abschnitten des 1. Teils. Nachdem Sie mit Mathematica einige Probleme durchgearbeitet haben, sollten Sie ein Gefühl für viele der Grundeigenschaften des Systems erworben haben.

Sobald Sie mit den Eigenschaften von Mathematica hinreichend vertraut sind, sollten Sie wieder von vorn anfangen und die Gesamtstruktur des Mathematica-Systems studieren, indem Sie zum Beispiel Teil 2 des Buches systematisch durchlesen. Dabei werden Sie feststellen, daß viele der Eigenschaften, die anfangs ohne Zusammenhang schienen, sich zu einer kohärenten Gesamtstruktur zusammenfügen. Die Kenntnis dieser Struktur erleichtert das Verstehen und das Einprägen der speziellen Eigenschaften, die Sie bereits kennengelernt haben.

Die Prinzipien von Mathematica

Versuchen Sie nicht, die Gesamtstruktur von Mathematica zu früh zu verstehen. Wenn Sie keine umfangreiche Erfahrung mit höheren Computersprachen oder reiner Mathematik haben, werden Sie wahrscheinlich zunächst Schwierigkeiten beim Verstehen von Teil 2 haben. Sie werden Probleme haben, sich die darin beschriebene Struktur und die Prinzipien einzuprägen, und Sie werden immer nach dem Sinn einzelner Aspekte fragen. Haben Sie jedoch im ersten Schritt eine gewisse praktische Erfahrung mit Mathematica gewonnen, wird Ihnen das Verständnis der Gesamtstruktur sehr viel leichter fallen. Sie sollten sich bewußt machen, daß die Prinzipien, auf denen Mathematica aufgebaut ist, sehr allgemeiner Natur sind, und daß es gewöhnlich schwierig ist, derartig allgemeine Prinzipien zu verstehen, ehe Sie einzelne Beispiele gesehen haben.

Einer der wichtigsten Aspekte von Mathematica ist, daß es eine recht geringe Anzahl von Prinzipien so weit wie möglich anwendet. Auch wenn Sie eine besondere Eigenschaft nur in einer Spezialsituation eingesetzt haben, kann das zugrundeliegende Prinzip doch wahrscheinlich in vielen anderen Situationen Verwendung finden. Es ist auch wichtig, die Grundprinzipien von Mathematica zu verstehen, weil Sie dadurch Ihr Wissen über Spezialeigenschaften in einen allgemeineren Zusammenhang stellen können. Sie mögen zum Beispiel Transformationen zuerst im Kontext algebraischer Ausdrücke kennengelernt haben. Das Grundprinzip der Transformationsregeln gilt jedoch für jeden symbolischen Ausdruck. Sie können also mit derartigen Regeln zum Beispiel auch die Struktur eines Ausdrucks ändern, der ein Mathematica-Grafikobjekt repräsentiert.

Ändern der eigenen Arbeitsmethode

Das Erlernen des richtigen Einsatzes von Mathematica beinhaltet auch eine Änderung der Art, wie Sie Probleme lösen. Die Bewertung, welche Aspekte der Problemlösung als schwierig zu betrachten sind, ändert sich, wenn Sie von Papier und Bleistift zu Mathematica übergehen. Selbst bei einer anfänglich ziemlich unpräzisen Formulierung Ihres Problems können Sie mit Bleistift und Papier häufig erfolgreich sein. In der Regel können Sie die Formulierung während der Durchführung von Berechnungen nachbessern. Ihre Berechnungen müssen jedoch recht einfach sein, und Sie können es sich aus zeitlichen Gründen nicht erlauben, viele verschiedene Fälle auszuprobieren.

Wenn Sie Mathematica benutzen, muß jedoch bereits die anfängliche Formulierung Ihres Problems sehr präzise sein. Sobald Sie aber erst einmal Ihr Problem formuliert haben, können sie leicht viele verschiedene Berechnungen damit ausführen. Das bedeutet, daß Sie im Grunde viele mathematische Experimente zu Ihrem Problem ausführen können. Durch Betrachtung der erhaltenen Ergebnisse können Sie zu einer Verfeinerung der ursprünglichen Formulierung Ihres Problems gelangen.

In der Regel gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, wie man ein gegebenes Problem in Mathematica formuliert. In fast allen Fällen wird jedoch die direkteste und einfachste Formulierung die beste sein. Je früher Sie Ihr Problem in Mathematica formulieren können, um so besser. So werden Sie häufig auch eine Formulierung Ihres Problems direkt in Mathematica günstiger finden als wenn Sie zuerst eine herkömmliche mathematische Formulierung, beispielsweise eine algebraische, aufzustellen versuchen. Wichtig ist dabei, daß Sie mit Mathematica nicht nur herkömmliche mathematische Operationen formulieren können, sondern auch algorithmische und strukturelle. Diese größere Bandbreite der Möglichkeiten bietet Ihnen bessere Voraussetzungen, um Ihr ursprüngliches Problem direkt darzustellen.

Schreiben von Programmen

Für die meisten der anspruchsvolleren Probleme, die Sie mit Mathematica lösen wollen, müssen Sie Mathematica-Programme schreiben. Mathematica unterstützt verschiedene Arten der Programmierung, und Sie müssen sich jeweils entscheiden, welche Sie in einem bestimmten Fall anwenden wollen. Es stellt sich heraus, daß sich keine Art der Programmierung für alle Fälle gleichermaßen gut eignet. Folglich ist es sehr wichtig, daß Sie mehrere verschiedene Arten der Programmierung erlernen. Wenn Sie bereits eine herkömmliche Programmiersprache wie BASIC, C, Fortran oder Pascal beherrschen, werden Sie es wahrscheinlich am leichtesten finden, die prozedurale Programmierung Mathematica mittels Do, For usw. zu erlernen. Obwohl fast jedes Mathematica-Programm im Prinzip prozedural geschrieben werden kann, ist dies selten der beste Ansatz. In einem symbolischen System wie Mathematica liefert funktionale und regelbasierte Programmierung in der Regel Programme, die effizienter und einfacher zu verstehen sind.

Wenn Sie feststellen, daß Sie häufig prozedural programmieren, sollten Sie sich aktiv bemühen, wenigstens einige Ihrer Programme in andere Formen zu konvertieren. Anfangs mögen Ihnen funktionale und regelbasierte Programme schwer verständlich erscheinen. Aber nach einer Weile werden Sie feststellen, daß ihre globale Struktur gewöhnlich einfacher zu erfassen ist als die prozeduraler Programme. Wenn Ihre Erfahrung im Laufe von Monaten oder Jahren größer geworden ist, werden Sie wahrscheinlich feststellen, daß Sie zunehmend nichtprozedurale Programme schreiben.

Lernen des Gesamtsystems

Bei der Anwendung und beim Erlernen von Mathematica sollten Sie nicht vergessen, daß Mathematica ein umfangreiches System ist. Obwohl Sie nach einer Weile alle Grundprinzipien von Mathematica kennen sollten, werden Sie jedoch wahrscheinlich nie die Einzelheiten aller Eigenschaften Mathematicas kennen. Folglich werden Sie es auch dann noch nützlich finden, dieses Buch durchzusehen, wenn Sie schon umfangreiche Erfahrungen mit Mathematica gesammelt haben. Wenn Sie so verfahren, werden Sie wahrscheinlich Eigenschaften bemerken, die Sie vorher nie beachtet hatten. Mit Ihrer Erfahrung können Sie jedoch eher sehen, wie diese zu nutzen sind.

Wie dieses Buch gelesen werden soll

Falls es irgendwie möglich ist, sollten Sie dieses Buch in Verbindung mit einem Mathematica-System lesen. Wenn Sie Beispiele im Buch sehen, sollten Sie sie auf Ihrem Computer ausprobieren.

Ein Grundgefühl dafür, was Mathematica ist, können Sie erhalten, indem Sie sich „Eine Tour durch Mathematica" im Abschnitt T.0, die "Grafikgalerie" und die "Formelgalerie" am Ende des Hauptteils des Buches anschauen. Sie werden es nützlich finden, die Beispiele aus der Tour mit Ihrer eigenen Mathematica-Kopie auszuprobieren.



Wie immer Ihre Vorkenntnisse sein mögen, Sie sollten sich auf jeden Fall die ersten drei oder vier Abschnitte in Teil 1 anschauen, bevor Sie beginnen, Mathematica selbständig zu benutzen. Diese Abschnitte beschreiben die Grundlagen, die Sie kennen müssen, um Mathematica auf beliebiger Ebene einsetzen zu können.

Der Rest von Teil 1 zeigt Ihnen, wie Sie viele verschiedene Berechnungen mit Mathematica durchführen können. Wenn Sie eine bestimmte Berechnung ausführen wollen, werden Sie es oft als ausreichend empfinden, sich jene Teile von Teil 1 anzusehen, die die benötigten Eigenschaften von Mathematica beschreiben. Sinnvoll ist es auch, Beispiele im Buch zu suchen, die dem ähneln, was Sie tun wollen.

In Teil 1 soll vor allem gezeigt werden, wie man mit den in Mathematica eingebauten Grundfunktionen verschiedene Berechnungen ausführt.

Teil 2 beschreibt hingegen die Grundstrukturen und Prinzipien, die Mathematica insgesamt zugrundeliegen. Statt eine Folge spezieller Eigenschaften zu beschreiben, wählt Teil 2 einen globaleren Zugang. Wenn Sie lernen wollen, eigene Mathematica-Funktionen zu schreiben, sollten Sie Teil 2 lesen.

Teil 3 ist für jene mit anspruchsvollerem mathematischen Interesse und Wissen gedacht. Er beschreibt fortgeschrittenere mathematische Eigenschaften von Mathematica, behandelt aber auch einige Eigenschaften, die bereits in Teil 1 erwähnt wurden, in tiefergehenden mathematischen Einzelheiten.

Jeder Teil des Buches ist in Abschnitte und Unterabschnitte unterteilt. Es gibt zwei besondere Arten der Unterabschnitte, die durch folgende Überschriften kenntlich gemacht werden:

FilledSmallSquare Fortgeschrittenes Thema: Fortgeschrittenes Material, das beim ersten Lesen übergangen werden kann.

FilledSmallSquare Spezialthema: Material, das nur für bestimmte Anwender oder bestimmte Computersysteme gilt.

Die Hauptteile dieses Buches sind didaktisch angelegt und können nacheinander gelesen werden. Der Anhang ist jedoch nur für Nachschlagezwecke gedacht. Sobald Sie sich mit Mathematica vertraut gemacht haben, werden Sie benötigte Einzelheiten wahrscheinlich vorzugsweise in der Liste der Funktionen im Anhang nachschlagen.

Über die Beispiele in diesem Buch

Alle in diesem Buch angegebenen Beispiele wurden mit einer Kopie von Mathematica, Version 3, erzeugt. Wenn Ihnen eine Kopie dieser Version zur Verfügung steht, sollten Sie in der Lage sein, die Beispiele auf Ihrem Computer so zu reproduzieren, wie sie in diesem Buch erscheinen.

Dabei gibt es jedoch einige Punkte zu beachten:

FilledSmallSquare So lange Sie mit Mathematica noch nicht vertraut sind, sollten Sie die Eingaben exakt so eintippen, wie sie im Buch erscheinen. Ändern Sie keine der Großbuchstaben oder Klammern. Später werden Sie lernen, welche Dinge Sie ändern können. Anfangs ist es jedoch wichtig, daß Sie keine Änderungen vornehmen; sonst könnte es sein, daß Sie nicht dieselben Resultate wie im Buch erhalten.

FilledSmallSquare Tippen Sie nie das Prompt (Bereitschaftszeichen) In[n]:= ein, das jede Eingabezeile einleitet. Tippen Sie nur den Text ein, der dem Prompt folgt.

FilledSmallSquare Sie werden sehen, daß die Zeilen in jedem Dialog in Folge numeriert sind. Die meisten Unterabschnitte im Buch enthalten separate Dialoge. Damit Sie auch genau das erhalten, was Sie im Buch sehen, sollten Sie jedesmal, wenn im Buch eine neue Mathematica-Session gestartet wird, auch eine neue Session starten.

FilledSmallSquare Unterabschnitte mit „Spezialthemen" enthalten Beispiele, die möglicherweise nur für bestimmte Computersysteme gelten.

FilledSmallSquare Alle Beispiele, die Zufallszahlen enthalten, werden im allgemeinen andere Ergebnisse als im Buch ergeben, da die von Mathematica produzierten Folgen von Zufallszahlen in jeder Session verschieden sind.

FilledSmallSquare Einige Beispiele, die Arithmetik in Maschinengenauigkeit verwenden, können auf verschiedenen Computersystemen unterschiedlich ausfallen. Dies liegt an unterschiedlicher Gleitpunkt-Hardware. Wenn Sie Mathematica-Zahlen beliebiger Präzision verwenden, sollten keine Unterschiede zu beobachten sein.

FilledSmallSquare Fast alle Beispiele in diesem Buch zeigen Output so, wie er in StandardForm mit einer Notebook-Benutzeroberfläche erzeugt wird. Bei einer textorientierten Benutzeroberfläche wird Output ähnlich, aber nicht identisch aussehen.

FilledSmallSquare Fast alle Beispiele in diesem Buch setzen voraus, daß Ihr Computer oder Terminal eine Standard-US-ASCII-Zeichenmenge verwendet. Wenn Sie einige der benötigten Zeichen auf Ihrer Tastatur nicht finden oder wenn Mathematica andere Zeichen als im Buch ausdruckt, sollten Sie in Ihrer Computer-Dokumentation nachschauen, um die Entsprechungen zu Ihrem Zeichensatz zu finden.

FilledSmallSquare Wenn Ihre Version von Mathematica aktueller als jene ist, mit der dieses Buch produziert wird, dann ist es möglich, daß einige Ergebnisse, die Sie erhalten, anders sind.

FilledSmallSquare Die meisten Beispiele in „Eine Tour durch Mathematica" und auch in den Teilen 1 und 2 sind so gewählt worden, daß sie recht schnell ausgeführt werden. Vorausgesetzt, Sie haben einen Computer mit einer Taktfrequenz von ca. 100 MHz oder mehr (das trifft für die meisten Computer zu, die 1995 oder später produziert wurden), dann werden nur wenige Beispiele mehr als einige Sekunden benötigen. Sollte dies trotzdem geschehen, so ist wahrscheinlich etwas nicht in Ordnung. Abschnitt 1.3.12 beschreibt, wie die Berechnung abgebrochen werden kann.

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