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Symbolische BerechnungenUmformen von algebraischen Ausdrücken

1.4.2 Werte für Symbole

Wenn Mathematica einen Ausdruck wie x + x in 2x transformiert, behandelt es die Variable x auf eine rein symbolische oder formale Art. In solchen Fällen ist x ein Symbol, das für einen beliebigen Ausdruck stehen kann.

Oft werden Sie jedoch ein Symbol wie x durch einen bestimmten „Wert" ersetzen müssen. Manchmal wird dieser Wert eine Zahl, oft jedoch ein anderer Ausdruck sein.

Um in einem Ausdruck wie 1 + 2x das dort erscheinende Symbol x durch einen bestimmten Wert zu ersetzen, können Sie eine Mathematica-Transformationsregel erzeugen und dann diese Regel auf den Ausdruck anwenden. Um x durch den Wert 3 zu ersetzen, würden Sie die Regel x -> 3 erzeugen. Dabei müssen Sie -> als ein Paar von Zeichen ohne Zwischenraum eintippen. Sie können sich x -> 3 als Regel vorstellen, bei der „x zu 3 wird".

Um eine Transformationsregel auf einen bestimmten Mathematica-Ausdruck anzuwenden, geben Sie ausdr /. regel ein. Der „Ersetzungsoperator" /. wird als ein Paar von Zeichen ohne Zwischenraum eingegeben.

Hier wird die Transformationsregel x->3 im Ausdruck 1 + 2x benutzt.

In[1]:= 1 + 2x /. x -> 3

Out[1]=

Sie können x durch einen beliebigen Ausdruck ersetzen. Hier wird x bei jedem Erscheinen durch 2 - y ersetzt.

In[2]:= 1 + x + x^2 /. x -> 2 - y

Out[2]=

Hier ist eine Transformationsregel. Mathematica behandelt sie wie jeden anderen symbolischen Ausdruck.

In[3]:= x -> 3 + y

Out[3]=

Dadurch wird die Transformationsregel der vorangegangenen Zeile auf den Ausdruck x^2 - 9 angewendet.

In[4]:= x^2 - 9 /. %

Out[4]=

Ersetzen von Symbolen in Ausdrücken durch Werte

Sie können Regeln gemeinsam anwenden, indem Sie sie in eine Liste setzen.

In[5]:= (x + y) (x - y)^2 /. {x -> 3, y -> 1 - a}

Out[5]=

Mit dem Ersetzungsoperator /. können Sie Transformationsregeln auf einen bestimmten Ausdruck anwenden. Manchmal möchten Sie jedoch Transformationsregeln definieren, die immer angewendet werden sollten. Nehmen Sie zum Beispiel an, Sie wollen x immer dann durch 3 ersetzen, wenn x erscheint.

Wie in Abschnitt 1.2.2 erläutert, können Sie dies durch Zuweisung des Wertes 3 zu x mit Hilfe von x = 3 erreichen. Haben Sie einmal die Zuweisung x = 3 gemacht, wird x, wo immer es auftritt, durch 3 ersetzt.

Dies weist x den Wert 3 zu.

In[6]:= x = 3

Out[6]=

Nun wird x automatisch durch 3 ersetzt, wann immer es erscheint.

In[7]:= x^2 - 1

Out[7]=

Dadurch wird der Ausdruck 1 + a als Wert von x zugewiesen.

In[8]:= x = 1 + a

Out[8]=

Nun wird x durch 1 + a ersetzt.

In[9]:= x^2 - 1

Out[9]=

Sie können den Wert eines Symbols durch einen beliebigen Ausdruck definieren, nicht nur durch eine Zahl. Sie sollten sich klarmachen, daß eine solche Definition, sobald Sie sie gegeben haben, so lange bei jedem Erscheinen des Symbols benutzt wird, bis Sie die Definition explizit ändern oder entfernen. Eine der häufigsten Fehlerquellen beim Gebrauch von Mathematica besteht darin, zu vergessen, die Werte zu löschen, die Symbolen zugewiesen wurden.

Zuweisen von Werten zu Symbolen

Das Symbol x hat noch den Wert, den Sie oben zugewiesen haben.

In[10]:= x + 5 - 2x

Out[10]=

Dadurch wird der Wert entfernt, den Sie x zugewiesen haben.

In[11]:= x =.

Nun hat x keinen definierten Wert, so daß es als eine rein symbolische Variable benutzt werden kann.

In[12]:= x + 5 - 2x

Out[12]=

In Mathematica kann ein Symbol wie x vielen verschiedenen Zwecken dienen, und Mathematica ist ja gerade deshalb so flexibel, weil man diese Zwecke nach Bedarf kombinieren kann. Um Fehler zu vermeiden, müssen Sie jedoch einige der verschiedenen Benutzungen von x auseinanderhalten. Der wichtigste Unterschied besteht zwischen dem Gebrauch von x als Name für einen anderen Ausdruck und dem Gebrauch als eine symbolische Variable, die nur für sich selbst steht.

In traditionellen Programmiersprachen, die symbolische Berechnungen nicht unterstützen, können Variable nur für Objekte, in der Regel Zahlen, eingesetzt werden, die diesen als Werte zugewiesen worden sind. In Mathematica jedoch kann x auch als reine formale Variable behandelt werden, auf die verschiedene Transformationsregeln angewendet werden können. Wenn Sie eine Definition explizit angeben, wie etwa x = 3, dann wird x selbstverständlich immer durch 3 ersetzt und kann nicht länger als eine formale Variable dienen.

Sie sollten sich klarmachen, daß explizite Definitionen wie x = 3 einen globalen Effekt haben. Auf der anderen Seite berührt eine Ersetzung wie ausdr /. x->3 nur den Ausdruck ausdr. Gewöhnlich ist die Übersicht einfacher zu bewahren, wenn Sie explizite Definitionen nur dann verwenden, wenn es absolut notwendig ist.

Sie können Ersetzungen immer mit Zuweisungen kombinieren. Mit Hilfe von Zuweisungen können Sie Ausdrücken, in denen Sie Ersetzungen vornehmen wollen, oder Regeln, die Sie beim Ersetzen benutzen wollen, Namen geben.

Dies weist dem Symbol t einen Wert zu.

In[13]:= t = 1 + x^2

Out[13]=

Hiermit wird der Wert von t bestimmt und dann in ihm x durch 2 ersetzt.

In[14]:= t /. x -> 2

Out[14]=

Dadurch wird der Wert von t für einen anderen Wert von x bestimmt.

In[15]:= t /. x -> 5a

Out[15]=

Dadurch wird der Wert von t bestimmt, wenn x durch Pi ersetzt und dann der Wert numerisch evaluiert wird.

In[16]:= t /. x -> Pi //N

Out[16]=

Symbolische BerechnungenUmformen von algebraischen Ausdrücken