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Umformen von algebraischen AusdrückenFortgeschrittenes Thema: Ausdrücke in verschiedene Formen setzen

1.4.4 Vereinfachen algebraischer Ausdrücke

Es gibt viele Situationen, in denen Sie einen algebraischen Ausdruck in der einfachsten möglichen Form schreiben wollen. Obwohl eine allgemeine Begriffsbestimmung der „einfachsten Form" recht schwierig ist, so wird sich eine brauchbare praktische Prozedur hingegen viele verschiedene Formen eines Ausdrucks ansehen und diejenige auswählen müssen, die die kleinste Anzahl von Teilen enthält.

Vereinfachen algebraischer Ausdrücke

Simplify schreibt in faktorisierter Form.

In[1]:= Simplify[x^2 + 2x + 1]

Out[1]=

Simplify beläßt in ausmultiplizierter Form, da für diesen Ausdruck die faktorisierte Form länger ist.

In[2]:= Simplify[x^10 - 1]

Out[2]=

Mit Simplify können Sie oft komplizierte Ausdrücke, die Sie als Ergebnis von Berechnungen erhalten haben, „aufräumen".

Hier ist das Integral von . Integrale werden in Abschnitt 1.5.3 ausführlicher erörtert.

In[3]:= Integrate[1/(x^4-1), x]

Out[3]=

Differentiation des Ergebnisses von Integrate sollte wieder Ihren ursprünglichen Ausdruck ergeben. In diesem Fall, und das ist häufig so, erhalten Sie eine kompliziertere Version des Ausdrucks.

In[4]:= D[%, x]

Out[4]=

Simplify reproduziert erfolgreich die ursprüngliche, einfachere Form des Ausdrucks.

In[5]:= Simplify[%]

Out[5]=

Simplify ist so konstruiert, daß es auf den Ausdruck verschiedene übliche algebraische Transformationen anzuwenden versucht. Mitunter sind jedoch komplexere Transformationen erforderlich, um die einfachste Form eines Ausdrucks zu erreichen.

FullSimplify versucht eine sehr viel größere Bandbreite von Transformationen, die nicht nur algebraische Funktionen, sondern auch viele andere Arten von Funktionen umfassen.

Simplify ändert diesen Ausdruck nicht.

In[6]:= Simplify[Gamma[x] Gamma[1 - x]]

Out[6]=

FullSimplify transformiert den Ausdruck hingegen in eine einfachere Form.

In[7]:= FullSimplify[Gamma[x] Gamma[1 - x]]

Out[7]=

Bei kleineren Ausdrücken wird FullSimplify häufig erfolgreich bemerkenswerte Vereinfachungen erreichen. Bei umfangreicheren Ausdrücken wird es häufig jedoch sehr langsam werden.

Der Grund dafür ist, daß der Befehl FullSimplify zur Durchführung seiner Aufgabe im Grunde jeden Teil eines Ausdruckes mit jedem anderen kombinieren muß, und bei großen Ausdrücken kann die Anzahl der Fälle, die betrachtet werden müssen, astronomisch groß werden.

Simplify hat auch schon schwierige Arbeit zu leisten, es ist jedoch so konstruiert, daß es einige jener sehr zeitintensiven Transformationen vermeidet, die FullSimplify versucht. Es kann sein, daß Sie es als vorteilhaft empfinden, bei vielen einfachen algebraischen Berechnungen Simplify routinemäßig auf Ihre Ergebnisse anzuwenden.

Bei komplizierteren Berechnungen wird am Ende sogar Simplify, ganz zu schweigen von FullSimplify, eine sehr große Anzahl unterschiedlicher Formen ausprobieren und deshalb sehr viel Zeit in Anspruch nehmen. In diesen Fällen werden Sie in der Regel eine kontrolliertere Vereinfachung durchführen und dabei Ihr Wissen über die Form, die Sie erreichen wollen, einsetzen müssen.

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