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Vereinfachen algebraischer AusdrückeFortgeschrittenes Thema: Vereinfachung unter Annahmen

1.4.5 Fortgeschrittenes Thema: Ausdrücke in verschiedene Formen setzen

Komplizierte algebraische Ausdrücke können gewöhnlich auf viele verschiedene Weisen geschrieben werden. Mathematica stellt eine Reihe von Funktionen bereit, um Ausdrücke von einer Form in eine andere umzuwandeln.

Bei den meisten Anwendungen sind die gebräuchlichsten Funktionen Expand, Factor und Simplify. Wenn Sie es jedoch insbesondere mit rationalen Ausdrücken mit Quotienten zu tun haben, benötigen Sie möglicherweise weitere Funktionen.

Funktionen zur Transformation algebraischer Ausdrücke

Hier ist ein rationaler Ausdruck, der in vielfältiger Weise geschrieben werden kann.

In[1]:= e = (x - 1)^2 (2 + x) / ((1 + x) (x - 3)^2)

Out[1]=

Expand multipliziert den Zähler aus, beläßt aber den Nenner in faktorisierter Form.

In[2]:= Expand[e]

Out[2]=

ExpandAll multipliziert alles aus, auch den Nenner.

In[3]:= ExpandAll[e]

Out[3]=

Together faßt alle Terme über einem gemeinsamen Nenner zusammen.

In[4]:= Together[%]

Out[4]=

Apart zerlegt den Ausdruck in Terme mit einfachen Nennern.

In[5]:= Apart[%]

Out[5]=

Factor faktorisiert alles und liefert in diesem Fall die ursprüngliche Form.

In[6]:= Factor[%]

Out[6]=

Gemäß Simplify ist dies die einfachste Form, in der der ursprüngliche Ausdruck geschrieben werden kann.

In[7]:= Simplify[e]

Out[7]=

Ausdrücke in der Form zu erhalten, die Sie möchten, ist so etwas wie eine Kunst. In den meisten Fällen ist es das beste, zu experimentieren und verschiedene Transformationen auszuprobieren, bis Sie das erhalten haben, was Sie wollen. Oft können Sie dafür Paletten in der Notebook-Benutzeroberfläche verwenden.

Wenn Sie einen Ausdruck mit einer einzigen Variablen haben, können Sie wählen, ob Sie ihn als Summe von Termen, als ein Produkt usw. schreiben. Falls Sie einen Ausdruck mit mehreren Variablen haben, gibt es sogar eine noch größere Auswahl an möglichen Formen. Sie können sich zum Beispiel dafür entscheiden, Terme im Ausdruck so zu gruppieren, daß die eine oder andere Variable „dominant" ist.

Umarrangieren von Ausdrücken mit mehreren Variablen

Hier ist ein algebraischer Ausdruck mit zwei Variablen.

In[8]:= v = Expand[(3 + 2 x)^2 (x + 2 y)^2]

Out[8]=

Dadurch werden Terme in v gruppiert, die die gleiche Potenz von x enthalten.

In[9]:= Collect[v, x]

Out[9]=

Dadurch werden Potenzen von y zusammengruppiert.

In[10]:= Collect[v, y]

Out[10]=

Dadurch wird der Teil ausgeklammert, der nicht von y abhängt.

In[11]:= FactorTerms[v, y]

Out[11]=

Wie wir gesehen haben, gibt es selbst dann, wenn Sie sich auf Polynome und rationale Ausdrücke beschränken, viele verschiedene Möglichkeiten, einen bestimmten Ausdruck zu schreiben. Wenn Sie kompliziertere Ausdrücke betrachten, die zum Beispiel höhere mathematische Funktionen enthalten, wird die Auswahl möglicher Formen ungleich größer. Deshalb ist es gänzlich unmöglich, eine speziell in Mathematica eingebaute Funktion zu haben, die jede mögliche Form hervorbringt. Vielmehr erlaubt Ihnen Mathematica, Transformationsregeln zum Umwandeln zwischen beliebigen Formen zu konstruieren. Viele Mathematica-Pakete enthalten solche Regeln; die Einzelheiten darüber, wie Sie diese selbst konstruieren können, erfahren Sie in Abschnitt 2.4.

Dennoch bietet Mathematica einige zusätzliche eingebaute Funktionen zur Transformation von Ausdrücken.

Einige weitere Funktionen zur Umwandlung von Ausdrücken

Dadurch wird der trigonometrische Ausdruck entwickelt und so geschrieben, daß alle Funktionen das Argument x haben.

In[12]:= TrigExpand[Tan[x] Cos[2x]]

Out[12]=

In diesem Fall wird mit trigonometrischen Identitäten eine faktorisierte Form des Ausdrucks erzeugt.

In[13]:= TrigFactor[%]

Out[13]=

Dies reduziert den Ausdruck unter Verwendung mehrfacher Winkel.

In[14]:= TrigReduce[%]

Out[14]=

Dadurch wird der Sinus entwickelt unter der Annahme, daß x und y beide reell sind.

In[15]:= ComplexExpand[ Sin[x + I y] ]

Out[15]=

Dadurch wird eine Entwicklung mit komplexen x und y ermöglicht.

In[16]:= ComplexExpand[ Sin[x + I y], {x, y} ]

Out[16]=

Die Transformationen von Ausdrücken mit Funktionen wie Expand und Factor sind immer korrekt, unabhängig davon, welche Werte die symbolischen Variablen im Ausdruck haben mögen. Manchmal ist es jedoch nützlich, Transformationen durchzuführen, die nur dann korrekt sind, wenn bestimmte Voraussetzungen über die möglichen Werte der symbolischen Variablen erfüllt sind. Eine solche Transformation führt PowerExpand durch.

Mathematica entwickelt nicht-ganzzahlige Potenzen von Produkten nicht automatisch.

In[17]:= Sqrt[x y]

Out[17]=

PowerExpand führt die Entwicklung aus.

In[18]:= PowerExpand[%]

Out[18]=

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