1.5.8 Differentialgleichungen

Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung

Hier ist die Lösung der Differentialgleichung . C[1] ist eine Konstante, die aus den Randbedingungen bestimmt werden muß.

In[1]:= DSolve[ y'[x] == a y[x] + 1, y[x], x ]

Out[1]=

Wenn Sie eine geeignete Anfangsbedingung angeben, dann gibt es in der Lösung keine unbestimmten Konstanten.

In[2]:= DSolve[ {y'[x] == a y[x] + 1, y[0] == 0}, y[x], x ]

Out[2]=

Während algebraische Gleichungen wie Gleichungen in Variablen sind, sind Differentialgleichungen wie zum Beispiel Gleichungen in Funktionen. In Mathematica müssen Sie Differentialgleichungen immer explizit in Funktionstermen wie zum Beispiel y[x] angeben, und Sie müssen die Variablen wie x, von denen die Funktionen abhängen, spezifizieren. Deshalb müssen Sie eine Gleichung wie in der Form y''[x] + y'[x] == y[x] schreiben. Sie können sie nicht als y'' + y' == y schreiben.

Mathematica kann sowohl lineare als auch nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen sowie Listen (Systeme) simultaner Gleichungen lösen. Wenn sie nicht genügend Anfangs- oder Randbedingungen spezifizieren, wird Mathematica Lösungen mit einer entsprechenden Anzahl unbestimmter Konstanten liefern. Jedesmal, wenn Sie DSolve einsetzen, erhalten die unbestimmten Konstanten die Namen C[1], C[2] usw.

Hier ist ein Paar simultaner Differentialgleichungen ohne Anfangswert- oder Randbedingungen. Die Lösung, die Sie erhalten, enthält zwei unbestimmte Konstanten.

In[3]:= DSolve[ {x'[t] == y[t], y'[t] == x[t]},
{x[t], y[t]}, t ]

Out[3]=

Wenn Sie mit DSolve eine Lösung für y[x] anfordern, werden die erhaltenen Regeln angeben, wie y[x] in Ausdrücken zu ersetzen ist. Diese Regeln geben jedoch nicht an, wie Objekte, wie zum Beispiel y'[x], zu ersetzen sind. Wenn Sie mit DSolve erhaltene Lösungen manipulieren wollen, werden Sie es häufig besser finden, nach Lösungen für y statt für y[x] zu fragen.

Dies liefert die Lösung für y als eine „reine Funktion".

In[4]:= DSolve[ y'[x] == x + y[x], y, x ]

Out[4]=

Sie können jetzt mit dem Ersetzungsoperator diese Lösung auf Ausdrücke, die y enthalten, anwenden.

In[5]:= y''[x] + y[x] /. %

Out[5]=

Abschnitt 2.2.5 erläutert, was unter der „reinen Funktion" Function, die im Ergebnis von DSolve auftritt, zu verstehen ist.