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DifferentialgleichungenGrenzwerte

1.5.9 Potenzreihen

Die mathematischen Operationen, die wir bislang behandelt haben, sind exakt. Vorausgesetzt, die Eingabe ist präzise, erhält man als Ergebnisse exakte Formeln.

In vielen Situationen benötigen Sie jedoch kein exaktes Ergebnis. Es kann zum Beispiel hinreichend sein, eine Näherungsformel zu finden, die gültig ist, wenn die Größe x klein ist.

Dies liefert eine Potenzreihen-Approximation für für in der Nähe von , mit Gliedern bis zur Ordnung .

In[1]:= Series[(1 + x)^n, {x, 0, 3}]

Out[1]=

Mathematica kennt die Potenzreihenentwicklung für viele mathematische Funktionen.

In[2]:= Series[Exp[-a t] (1 + Sin[2 t]), {t, 0, 4}]

Out[2]=

Wenn Sie Mathematica eine Funktion geben, die es nicht kennt, schreibt Series die Potenzreihe mittels Ableitungen.

In[3]:= Series[1 + f[t], {t, 0, 3}]

Out[3]=

Potenzreihen sind Näherungsformeln, die in Bezug auf algebraische Ausdrücke eine sehr ähnliche Rolle spielen wie Mathematicas angenäherte Zahlen in Bezug auf numerische Ausdrücke. Mit Mathematica können Sie Operationen mit Potenzreihen ausführen und dabei in allen Fällen die geeignete Ordnung oder den „Grad der Präzision" für die sich ergebende Potenzreihe bewahren.

Hier ist eine einfache Potenzreihe, entwickelt bis zum Term .

In[4]:= Series[Exp[x], {x, 0, 5}]

Out[4]=

Wenn Sie Operationen mit einer Potenzreihe ausführen, wird das Ergebnis nur bis zu einer sinnvollen Ordnung in x berechnet.

In[5]:= %^2 (1 + %)

Out[5]=

Dies verwandelt die Potenzreihe in einen gewöhnlichen Ausdruck.

In[6]:= Normal[%]

Out[6]=

Jetzt wird das Quadrat exakt berechnet.

In[7]:= %^2

Out[7]=

Die Anwendung von Expand liefert ein Ergebnis mit elf Termen.

In[8]:= Expand[%]

Out[8]=

Potenzreihenoperationen

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