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Lösung numerischer GleichungenNumerische Optimierung

1.6.4 Numerische Differentialgleichungen

Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Damit wird eine numerische Lösung der Gleichung für erzeugt. Das Ergebnis wird mittels InterpolatingFunction angegeben.

In[1]:= NDSolve[{y'[x] == y[x], y[0] == 1}, y, {x, 0, 2}]

Out[1]=

Dies liefert den Wert für .

In[2]:= y[1.5] /. %

Out[2]=

Bei einer algebraischen Gleichung, wie zum Beispiel , ist jede Lösung einfach eine einzige Zahl. Bei einer Differentialgleichung ist die Lösung hingegen eine Funktion statt einer einzelnen Zahl. Zum Beispiel erstreben Sie im Fall der Gleichung eine Approximation der Funktion , bei der die unabhängige Variable  über einen bestimmten Bereich variiert.

Mathematica stellt numerische Approximationen von Funktionen als InterpolatingFunction-Objekte dar. Diese Objekte sind Funktionen, die auf ein angewandt den Näherungswert von in diesem Punkt liefern. Die InterpolatingFunction speichert im Grunde eine Tabelle mit Werten für , und interpoliert dann diese Tabelle, um eine Approximation für mit dem von Ihnen angegebenen zu liefern.

Verwendung der Ergebnisse von NDSolve

Hiermit wird ein System gekoppelter Differentialgleichungen gelöst.

In[3]:= NDSolve[ {y'[x] == z[x], z'[x] == -y[x], y[0] == 0,
z[0] == 1}, {y, z}, {x, 0, Pi} ]

Out[3]=

Dies ergibt den Wert z[2], der mit der Lösung ermittelt wurde.

In[4]:= z[2] /. %

Out[4]=

Dies ist der Plot der Lösung für z[x], die in Zeile 3 gefunden wurde. Plot wird in Abschnitt 1.9.1 diskutiert.

In[5]:= Plot[Evaluate[z[x] /. %3], {x, 0, Pi}]

Out[5]=

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