This is documentation for Mathematica 4, which was
based on an earlier version of the Wolfram Language.
View current documentation (Version 11.1)

 Documentation /  Mathematica /  Das Mathematica Buch /  Eine praktische Einführung in Mathematica /  Grafik und Ton /

Datenlisten zeichnenEinige Spezialdiagramme

1.9.10 Parametrische Diagramme

Abschnitt 1.9.1 beschrieb, wie Kurven in Mathematica gezeichnet werden, in denen Sie die -Koordinate jedes Punktes als Funktion der -Koordinate angeben. Sie können mit Mathematica auch parametrische Diagramme erstellen. In einem parametrischen Diagramm geben Sie die - und -Koordinate jedes Punktes als Funktion eines dritten Parameters, zum Beispiel , an.

Funktionen zur Erzeugung parametrischer Diagramme

Hier ist die Kurve, die entsteht, wenn man für die -Koordinate jedes Punktes Sin[t] und für die -Koordinate Sin[2t] einsetzt.

In[1]:= ParametricPlot[{Sin[t], Sin[2t]}, {t, 0, 2Pi}]

Out[1]=

Die „Gestalt" der erstellten Kurve hängt vom Verhältnis von Höhe zu Breite des gesamten Diagramms ab.

In[2]:= ParametricPlot[{Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, 2Pi}]

Out[2]=

Die Festlegung der Option AspectRatio auf Automatic bewirkt, daß Mathematica die „wahre Gestalt" der Kurve bewahrt, so wie sie durch die tatsächlichen Koordinatenwerte definiert ist.

In[3]:= Show[%, AspectRatio -> Automatic]

Out[3]=

Dreidimensionale parametrische Diagramme

ParametricPlot3D[, , , t, tmin, tmax] ist das direkte Analogon in drei Dimensionen zu ParametricPlot[, , t, tmin, tmax] in zwei Dimensionen. In beiden Fällen erzeugt Mathematica im Grunde durch Variation des Parameters t eine Punktfolge und bildet dann durch Verbinden dieser Punkte eine Kurve. Bei ParametricPlot liegt die Kurve im zweidimensionalen Raum, bei ParametricPlot3D im dreidimensionalen Raum.

Dies erstellt ein parametrisches Diagramm einer helixförmigen Kurve. Durch Variation von t wird die kreisförmige Bewegung in der (, )-Ebene und die lineare Bewegung in der -Richtung erzeugt.

In[4]:= ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], t/3}, {t, 0, 15}]

Out[4]=

ParametricPlot3D[, , , t, tmin, tmax, u, umin, umax] erzeugt eine Oberfläche statt einer Kurve. Die Oberfläche wird durch eine Gruppierung von vierseitigen Flächen gebildet. Die Ecken der vierseitigen Flächen haben Koordinaten, die den Werten der entsprechen, wenn t und u Werte auf einem regelmäßigen Gitternetz annehmen.

In diesem Fall sind die - und -Koordinaten für die vierseitigen Flächen einfach durch t und u gegeben. Es ergibt sich ein Oberflächendiagramm, so wie es von Plot3D produziert werden kann.

In[5]:= ParametricPlot3D[{t, u, Sin[t u]},
{t, 0, 3}, {u, 0, 3}]

Out[5]=

Dies zeigt dieselbe Oberfläche wie zuvor, jedoch sind die -Koordinaten durch eine quadratische Transformation verzerrt.

In[6]:= ParametricPlot3D[{t, u^2, Sin[t u]},
{t, 0, 3}, {u, 0, 3}]

Out[6]=

Dies erzeugt eine helixförmige Oberfläche, indem in jedem Abschnitt der helixförmigen Kurve (siehe oben) eine vierseitige Fläche eingezeichnet wird.

In[7]:= ParametricPlot3D[{u Sin[t], u Cos[t], t/3},
{t, 0, 15}, {u, -1, 1}]

Out[7]=

Im allgemeinen lassen sich mit ParametricPlot3D viele komplizierte Oberflächen konstruieren. In jedem Fall können Sie sich vorstellen, die Oberflächen seien durch „Verzerren" oder „Aufrollen" des -Koordinatennetzes entstanden.

Dies erzeugt einen Zylinder. Variation des Parameters t liefert einen Kreis in der (, )-Ebene, während die Variation des Parameters u den Kreis in der -Richtung bewegt.

In[8]:= ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], u},
{t, 0, 2Pi}, {u, 0, 4}]

Out[8]=

Dies erzeugt einen Torus. Die Variation von u ergibt einen Kreis, während die Variation von t den Kreis so um die -Achse rotiert, daß der Torus entsteht.

In[9]:= ParametricPlot3D[
{Cos[t] (3 + Cos[u]), Sin[t] (3 + Cos[u]), Sin[u]},
{t, 0, 2Pi}, {u, 0, 2Pi}]

Out[9]=

Dies produziert eine Kugel.

In[10]:= ParametricPlot3D[
{Cos[t] Cos[u], Sin[t] Cos[u], Sin[u]},
{t, 0, 2Pi}, {u, -Pi/2, Pi/2}]

Out[10]=

Zu beachten ist: Wenn Sie mit ParametricPlot3D Oberflächen zeichnen, dann ist die günstige Wahl der Parametrisierung häufig entscheidend. Sie sollten zum Beispiel vorsichtig sein und Parametrisierungen vermeiden, bei denen die Oberfläche insgesamt oder zum Teil mehr als einmal bedeckt wird. Derartige mehrfache Überdeckungen führen häufig zu Unstetigkeiten in dem auf der Oberfläche gezeichneten Gitternetz, und es kann sein, daß ParametricPlot3D sehr viel länger zur Wiedergabe der Oberfläche benötigt.

Datenlisten zeichnenEinige Spezialdiagramme