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Orthogonale PolynomeElliptische Integrale und elliptische Funktionen

3.2.10 Spezielle Funktionen

Mathematica verfügt über alle üblichen speziellen Funktionen der mathematischen Physik, die man in den Standardwerken findet. Alle diese Funktionsklassen werden hier der Reihe nach beschrieben.

In der Literatur findet man für eine bestimmte spezielle Funktion oft gegensätzliche Definitionen. Wenn man also eine spezielle Funktion in Mathematica benutzen und auch sicherstellen will, daß es tatsächlich die gewünschte ist, dann sollte man sich die unten angegebene Definition anschauen.

Mathematica liefert für einige Werte der speziellen Funktionen exakte Ergebnisse.

In[1]:= Gamma[15/2]

Out[1]=

Hier ist kein exaktes Ergebnis bekannt.

In[2]:= Gamma[15/7]

Out[2]=

Ein numerisches Ergebnis beliebiger Präzision kann trotzdem gefunden werden.

In[3]:= N[%, 40]

Out[3]=

Sie können in den speziellen Funktionen komplexe Argumente einsetzen.

In[4]:= Gamma[3 + 4I] //N

Out[4]=

Spezielle Funktionen werden automatisch auf jedes Element in einer Liste angewandt.

In[5]:= Gamma[{3/2, 5/2, 7/2}]

Out[5]=

Mathematica kennt analytische Eigenschaften der speziellen Funktionen, wie zum Beispiel ihre Ableitungen.

In[6]:= D[Gamma[x], {x, 2}]

Out[6]=

Mit FindRoot können Sie Wurzeln spezieller Funktionen bestimmen.

In[7]:= FindRoot[ BesselJ[0, x], {x, 1} ]

Out[7]=

Gewöhnlich können spezielle Funktionen in Mathematica für beliebige komplexe Werte ihrer Argumente evaluiert werden. Oftmals gelten die unten gegebenen definierenden Relationen jedoch nur für eine bestimmte Auswahl der Argumente. In diesen Fällen entspricht die vollständige Funktion einer geeigneten Erweiterung oder „analytischen Fortsetzung" dieser definierenden Relationen. So sind zum Beispiel Integraldarstellungen von Funktionen nur gültig, wenn das Integral existiert, aber die Funktionen selbst können woanders, gewöhnlich durch analytische Fortsetzung, definiert werden.

Als einfaches Beispiel dafür, wie der Definitionsbereich einer Funktion erweitert werden kann, können Sie die Funktion betrachten, die durch die Summe dargestellt wird. Diese Summe konvergiert nur, wenn . Trotzdem läßt sich analytisch einfach zeigen, daß für beliebiges die vollständige Funktion gleich ist. Mit dieser Form können Sie ohne Schwierigkeiten den Wert der Funktion für beliebiges bestimmen, jedenfalls solange ist.

Die Gamma-Funktion und verwandte Funktionen

Gamma-Funktion und damit verwandte Funktionen

Die Eulersche Gamma-Funktion Gamma[z] ist durch das Integral definiert. Für positives ganzzahliges ist . kann als eine Verallgemeinerung der Fakultäts-Funktion betrachtet werden, die für komplexe Argumente gilt.

Es gibt einige Berechnungen, insbesondere in der Zahlentheorie, bei denen oft der Logarithmus der Gamma-Funktion erscheint. Für positive reelle Argumente können Sie ihn einfach mit Log[Gamma[z]] evaluieren. Bei komplexen Argumenten erhalten Sie jedoch mit dieser Form falsche Unstetigkeiten. Mathematica enthält deshalb die separate Funktion LogGamma[z], die den Logarithmus der Gamma-Funktion mit einem einfachen Verzweigungsschnitt längs der negativen reellen Achse liefert.

Die Eulersche Beta-Funktion Beta[a, b] ist .

Das Pochhammer-Symbol oder aufsteigende Fakultät Pochhammer[a, n] ist . Es tritt oft in Reihenentwicklungen für hypergeometrische Funktionen auf. Beachten Sie, daß das Pochhammer-Symbol auch dann einen definierten Wert hat, wenn die Gamma-Funktionen, die in seiner Definition erscheinen, unendlich sind.

Die unvollständige Gamma-Funktion Gamma[a, z] ist durch das Integral definiert. Mathematica enthält eine verallgemeinerte unvollständige Gamma-Funktion Gamma[a, , ], die durch definiert ist. Die alternative unvollständige Gamma-Funktion kann deshalb in Mathematica durch Gamma[a, 0, z] erhalten werden.

Die unvollständige Beta-Funktion Beta[z, a, b] wird durch gegeben. Beachten Sie, daß in der unvollständigen Beta-Funktion der Parameter z eine obere Integrationsgrenze ist und als das erste Argument der Funktion erscheint. In der unvollständigen Gamma-Funktion ist z dagegen eine untere Integrationsgrenze und erscheint als das zweite Argument der Funktion.

In bestimmten Fällen ist es vorteilhaft, nicht die unvollständigen Beta- und Gamma-Funktionen selbst, sondern stattdessen die regularisierten Formen zu berechnen, in denen diese Funktionen durch vollständige Beta- und Gamma-Funktionen dividiert werden. Mathematica kennt die regularisierte unvollständige Beta-Funktion BetaRegularized[z, a, b], die für die meisten Argumente durch definiert ist, berücksichtigt aber Singularitäten. Mathematica kennt auch die regularisierte unvollständige Gamma-Funktion GammaRegularized[a, z], die durch definiert ist, unter Berücksichtigung von Singularitäten.

Die unvollständigen Beta- und Gamma-Funktionen sowie deren Inverse treten häufig in der Statistik auf. Die inverse Beta-Funktion InverseBetaRegularized[s, a, b] ist die Lösung für in . Die inverse Gamma-Funktion InverseGammaRegularized[a, s] ist entsprechend die Lösung für in .

Ableitungen der Gamma-Funktion erscheinen oft bei der Summation rationaler Folgen. Die Digamma-Funktion PolyGamma[z] ist die logarithmische Ableitung der Gamma-Funktion, gegeben durch . Für ganzzahlige Argumente genügt die Digamma-Funktion der Relation , wobei die Eulersche Konstante (EulerGamma in Mathematica) ist und die harmonischen Zahlen sind.

Die Polygamma-Funktionen PolyGamma[n, z] sind durch gegeben. Beachten Sie, daß sich für die Digamma-Funktion ergibt. Die allgemeine Form ist die -te, nicht die -te, logarithmische Ableitung der Gamma-Funktion. Die Polygamma-Funktionen genügen der Relation .

In Mathematica sind viele exakte Ergebnisse der Gamma- und Polygamma- Funktionen eingebaut.

In[1]:= PolyGamma[6]

Out[1]=

Hier ist ein Konturendiagramm der Gamma-Funktion in der komplexen Ebene.

In[2]:= ContourPlot[ Abs[Gamma[x + I y]], {x, -3, 3},
{y, -2, 2}, PlotPoints->40 ]

Out[2]=

Die Zetafunktion und verwandte Funktionen

Zetafunktion und verwandte Funktionen

Die Riemannsche Zetafunktion Zeta[s] ist durch die Relation (für ) definiert. Zetafunktionen mit ganzzahligen Argumenten tauchen bei der Evaluierung verschiedener Summen und Integrale auf. Wenn es möglich ist, liefert Mathematica für Zetafunktionen mit ganzzahligen Argumenten exakte Ergebnisse.

Es existiert eine analytische Fortsetzung von für beliebiges komplexes . Die Zetafunktion für komplexe Argumente ist von zentraler Bedeutung bei zahlentheoretischen Studien der Verteilung der Primzahlen. Von besonderer Bedeutung sind die Werte auf der kritischen Linie .

Bei der Untersuchung von ist es oft zweckmäßig, die zwei analytischen Riemann-Siegel-Funktionen RiemannSiegelZ[t] und RiemannSiegelTheta[z] gemäß und (für reelles ) zu definieren. Beachten Sie, daß die beiden Riemann-Siegel-Funktionen reell sind, solange reell ist.

Die Stieltjes-Konstanten StieltjesGamma[n] sind Verallgemeinerungen der Eulerschen Konstante, die bei der Reihenentwicklung von um den Pol bei auftauchen; der Koeffizient von ist . Die Eulersche Konstante ist .

Die verallgemeinerte Riemannsche Zetafunktion oder Hurwitzsche Zetafunktion Zeta[s, a] ist durch definiert, wobei jeder Term mit ausgeschlossen wird.

Mathematica liefert exakte Ergebnisse für .

In[1]:= Zeta[6]

Out[1]=

Hier ist ein dreidimensionales Bild der Riemannschen Zetafunktion in der komplexen Ebene.

In[2]:= Plot3D[ Abs[ Zeta[x + I y] ], {x, -3, 3},
{y, 2, 35}, PlotPoints->30 ]

Out[2]=

Dies ist ein Diagramm des Absolutbetrages der Riemannschen Zetafunktion auf der kritischen Linie . Sie können einige der ersten Nullstellen der Zetafunktion sehen.

In[3]:= Plot[ Abs[ Zeta[ 1/2 + I y ] ], {y, 0, 40} ]

Out[3]=

Die Polylogarithmus-Funktionen PolyLog[n, z] werden durch definiert. Die Polylogarithmus-Funktion ist auch als Jonquièresche Funktion bekannt. Der Dilogarithmus PolyLog[2, z] genügt der Gleichung . ist manchmal auch unter dem Namen Spence-Integral bekannt. Nielsensche verallgemeinerte Polylogarithmus-Funktionen oder Hyperlogarithmen PolyLog[n, p, z] werden durch definiert. Polylogarithmus-Funktionen treten in Feynman-Diagramm-Integralen in der Elementarteilchen-Physik sowie in algebraischer K-Theorie auf.

Die Lerchsche Transzendente LerchPhi[z, s, a] ist eine Verallgemeinerung der Zeta- und Polylogarithmus-Funktionen, gegeben durch , wobei jeder Term mit ausgeschlossen wird. Viele Summen mit reziproken Potenzen können mittels der Lerchschen Transzendenten ausgedrückt werden. Die Catalansche Beta-Funktion kann zum Beispiel als erhalten werden.

Die Lerchsche Transzendente steht durch zu den Integralen der Fermi-Dirac-Verteilung in der statistischen Mechanik in Beziehung.

Die Lerchsche Transzendente kann ebenfalls zur Evaluierung von Dirichletschen L-Reihen, die in der Zahlentheorie auftreten, benutzt werden. Die grundlegende -Reihe hat die Form , wobei der „Charakter" eine ganzzahlige Funktion mit der Periode ist. -Reihen dieser Art lassen sich als Summen von Lerchschen Funktionen mit als Potenz von schreiben.

LerchPhi[z, s, a, DoublyInfinite->True] liefert die zweifach unendliche Summe .

Exponentialintegral und verwandte Funktionen

Exponentialintegral und verwandte Funktionen

Mathematica hat zwei Formen von Exponentialintegralen: ExpIntegralE und ExpIntegralEi.

Die Integralexponentialfunktion ExpIntegralE[n, z] ist durch definiert.

Die zweite Integralexponentialfunktion ExpIntegralEi[z] ist durch (für ) definiert, wobei der Hauptwert des Integrals genommen wird.

Die Logarithmusintegralfunktion LogIntegral[z] wird durch (für ) gegeben, wobei der Hauptwert des Integrals genommen wird. hat zentrale Bedeutung bei der Untersuchung der Primzahlverteilung in der Zahlentheorie. Die Logarithmusintegralfunktion wird manchmal auch geschrieben. Bei manchen zahlentheoretischen Anwendungen wird als definiert, wobei nicht der Hauptwert genommen wird. Diese Definition unterscheidet sich von der in Mathematica durch die Konstante .

Die Sinusintegral- und Kosinusintegralfunktionen SinIntegral[z] und CosIntegral[z] werden durch und definiert. Die hyperbolischen Sinusintegral- und Kosinusintegralfunktionen SinhIntegral[z] und CoshIntegral[z] werden definiert durch und .

Die Fehlerfunktion und verwandte Funktionen

Fehlerfunktion und verwandte Funktionen

Die Fehlerfunktion Erf[z] ist das Integral der Gaußverteilung, gegeben durch . Die komplementäre Fehlerfunktion Erfc[z] ist einfach durch gegeben. Die imaginäre Fehlerfunktion Erfi[z] ist gegeben durch . Die verallgemeinerte Fehlerfunktion Erf[, ] wird durch das Integral definiert. Die Fehlerfunktion ist von zentraler Bedeutung für Berechnungen in der Statistik.

Die inverse Fehlerfunktion InverseErf[s] ist definiert als Lösung für in der Gleichung . Die inverse Fehlerfunktion taucht bei der Berechnung von Konfidenzintervallen in der Statistik sowie in einigen Algorithmen zur Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen auf.

In enger Beziehung zur Fehlerfunktion stehen die Fresnelschen Integrale FresnelC[z], definiert durch und FresnelS[z], definiert durch . Fresnelsche Integrale treten in der Diffraktionstheorie auf.

Die Bessel-Funktionen und damit verwandte Funktionen

Die Bessel-Funktionen und damit verwandte

Die Bessel-Funktionen BesselJ[n, z] und BesselY[n, z] sind linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung . Für ganzzahliges sind die in regulär, während die in eine logarithmische Singularität aufweisen.

Bessel-Funktionen treten bei der Lösung von Differentialgleichungen für Systeme mit zylindrischer Symmetrie auf.

heißt oft Bessel-Funktion erster Art oder einfach die Bessel-Funktion. wird oft Bessel-Funktion zweiter Art, Weber-Funktion oder Neumann-Funktion (bezeichnet mit ) genannt.

Die Hankel-Funktionen (oder Bessel-Funktionen dritter Art) ergeben ein alternatives Lösungspaar der Besselschen Differentialgleichung.

Bei der Untersuchung von Systemen mit sphärischer Symmetrie treten sphärische Bessel-Funktionen auf, definiert durch , wobei und gleich und , und oder und sein können. Mathematica liefert für ganzzahliges exakte algebraische Ausdrücke für sphärische Bessel-Funktionen.

Die modifizierten Bessel-Funktionen BesselI[n, z] und BesselK[n, z] sind Lösungen der Differentialgleichung . Für ganzzahliges ist regulär in ; hat in immer eine logarithmische Singularität. Die werden manchmal als hyperbolische Bessel-Funktionen bezeichnet.

Besonders in der Elektrotechnik definiert man oft die Kelvin-Funktionen gemäß , .

Die Airy-Funktionen AiryAi[z] und AiryBi[z] sind die zwei unabhängigen Lösungen und der Differentialgleichung . strebt für große positive gegen Null, während unbeschränkt wächst. Die Airy-Funktionen stehen zu den modifizierten Bessel-Funktionen der Ein-Drittel-Ordnungen in Beziehung. Die Airy-Funktionen erscheinen oft als Lösungen von Randwertproblemen in der Theorie elektromagnetischer Felder und der Quantenmechanik. In vielen Fällen treten auch die Ableitungen der Airy-Funktionen AiryAiPrime[z] und AiryBiPrime[z] auf.

Die Struvesche Funktion StruveH[n, z] erscheint in der Lösung der inhomogenen Besselschen Gleichung, die für die ganze Zahl die Form hat; die allgemeine Lösung dieser Gleichung besteht aus einer Linearkombination von Bessel-Funktionen, ergänzt durch die Struvesche Funktion . Die modifizierte Struvesche Funktion StruveL[n, z] wird mittels der gewöhnlichen Struveschen Funktion als geschrieben. Struvesche Funktionen erscheinen insbesondere in der Theorie des Elektromagnetismus.

Hier ist ein Diagramm von . Dies ist eine Kurve, die eine an einem Ende aufgehängte idealisierte Kette beschreiben kann, wenn Sie an ihr wackeln.

In[1]:= Plot[ BesselJ[0, Sqrt[x]], {x, 0, 50} ]

Out[1]=

Mathematica erzeugt explizite Ausdrücke für Bessel-Funktionen halbzahliger Ordnung.

In[2]:= BesselK[3/2, x]

Out[2]=

Die hier gezeichnete Airy-Funktion liefert die quantenmechanische Amplitude eines Teilchens in einem Potential, das linear von links nach rechts wächst. Die Amplitude wird im klassisch unerreichbaren Bereich rechts exponentiell gedämpft.

In[3]:= Plot[ AiryAi[x], {x, -10, 10} ]

Out[3]=

Die Legendre-Funktionen und verwandte Funktionen

Legendre-Funktionen und verwandte Funktionen

Die Legendre-Funktionen und die zugeordneten Legendre-Funktionen genügen der Differentialgleichung . Die Legendre-Funktionen erster Art LegendreP[n, z] und LegendreP[n, m, z] werden zu Legendre-Polynomen, wenn und ganze Zahlen sind. Die Legendre-Funktionen zweiter Art LegendreQ[n, z] und LegendreQ[n, m, z] ergeben die zweite linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung. Für ganzzahlige haben sie in logarithmische Singularitäten. Die und lösen die Differentialgleichung für . Die Legendre-Funktionen tauchen bei Untersuchungen quantenmechanischer Streuprozesse auf.

Typen der Legendre-Funktionen. Analoge Typisierungen existieren für LegendreQ.

Legendre-Funktionen des Typs 1 sind nur definiert, wenn innerhalb des Einheitskreises in der komplexen Ebene liegt. Innerhalb des Einheitskreises haben Legendre-Funktionen des Typs 2 dieselben numerischen Werte wie die des Typs 1, sie sind jedoch auch außerhalb definiert. Die Funktionen des Typs 2 haben Verzweigungsschnitte von bis und von bis . Legendre-Funktionen des Typs 3, die mitunter auch als und geschrieben werden, haben einen einzigen Verzweigungsschnitt von bis .

Die Torus-Funktionen oder Ring-Funktionen, die bei der Untersuchung von Systemen mit toroidaler Symmetrie auftreten, können mit den Legendre-Funktionen und ausgedrückt werden.

Die Kegelfunktionen können mit und ausgedrückt werden.

Wenn Sie die Funktion LegendreP[n, x] mit ganzzahligem benutzen, erhalten Sie ein Legendre-Polynom. Für beliebiges komplexes erhalten Sie im allgemeinen eine Legendre-Funktion.

Auf dieselbe Weise können Sie, ausgehend von den Funktionen GegenbauerC usw. mit beliebigen komplexen Indizes, die Gegenbauer-Funktionen, Tschebyscheff-Funktionen, Hermiteschen Funktionen, Jacobi-Funktionen und Laguerre-Funktionen gewinnen. Im Gegensatz zu den zugeordneten Legendre-Funktionen ist es in diesen Fällen nicht notwendig, verschiedene Typen zu unterscheiden.

Konfluente Hypergeometrische Funktionen

Konfluente hypergeometrische Funktionen

Viele der bisher betrachteten speziellen Funktionen können als Spezialfälle der konfluenten hypergeometrischen Funktion Hypergeometric1F1[a, b, z] betrachtet werden.

Die konfluente hypergeometrische Funktion kann aus der Reihenentwicklung erhalten werden. Einige spezielle Ergebnisse erhält man, wenn und ganze Zahlen sind. Wenn und entweder oder , liefert die Reihe ein Polynom mit einer endlichen Anzahl Terme.

Wenn Null oder eine negative ganze Zahl ist, dann ist selbst unendlich. Die regularisierte konfluente hypergeometrische Funktion Hypergeometric1F1Regularized[a, b, z], definiert durch , hat in jedem Fall einen endlichen Wert.

Zu den Funktionen, die aus erhalten werden können, gehören die Bessel-Funktionen, die Fehlerfunktion, die unvollständige Gamma-Funktion sowie die Hermiteschen und Laguerreschen Polynome.

Die Funktion wird manchmal auch oder geschrieben. Sie wird oft Kummersche Funktion genannt.

Die Funktion hat die Integraldarstellung . Die konfluente hypergeometrische Funktion ist eine Lösung der Kummerschen Differentialgleichung , mit den Randbedingungen und .

Die Funktion HypergeometricU[a, b, z] ist eine zweite linear unabhängige Lösung der Kummerschen Gleichung. Für verhält sich diese Funktion wie für kleine . Sie hat einen Verzweigungsschnitt längs der negativen reellen Achse in der komplexen -Ebene.

Die Funktion hat die Integraldarstellung .

, ebenso wie , ist unter dem Namen Kummersche Funktion bekannt. Die -Funktion wird mitunter auch mit bezeichnet.

Die Whittaker-Funktionen ergeben ein alternatives Lösungspaar für die Kummersche Differentialgleichung. Die Whittaker-Funktion steht durch in Beziehung zu . Die zweite Whittaker-Funktion gehorcht derselben Relation, wobei durch ersetzt ist.

Die parabolischen Zylinderfunktionen stehen durch mit den Whittaker-Funktionen in Beziehung. Für ganzzahliges reduzieren sich die parabolischen Zylinderfunktionen zu Hermiteschen Polynomen.

Die Coulombschen Wellenfunktionen sind ebenfalls Spezialfälle der konfluenten hypergeometrischen Funktion. Coulombsche Wellenfunktionen sind Lösungen der radialen Schrödinger-Gleichung im Coulomb-Potential eines Punktkerns. Die reguläre Coulombsche Wellenfunktion ist durch gegeben, wobei ist.

Andere Spezialfälle der konfluenten hypergeometrischen Funktion sind die Toronto-Funktionen , die Poisson-Charlierschen Polynome , die Cunningham-Funktionen und die Bateman-Funktionen .

Eine häufig auftretende Grenzwertform der konfluenten hypergeometrischen Funktion ist Hypergeometric0F1[a, z]. Diese Funktion ist der Grenzwert .

Die Funktion hat die Reihenentwicklung und genügt der Differentialgleichung .

Bessel-Funktionen erster Art können mittels der Funktion ausgedrückt werden.

Hypergeometrische Funktionen und Verallgemeinerungen

Hypergeometrische Funktionen und Verallgemeinerungen

Die hypergeometrische Funktion Hypergeometric2F1[a, b, c, z] hat die Reihenentwicklung . Die Funktion ist eine Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung .

Die hypergeometrische Funktion kann auch als Integral geschrieben werden: .

Die hypergeometrische Funktion wird manchmal als geschrieben und ist als Gaußsche Reihe oder Kummersche Reihe bekannt.

Die Legendre-Funktionen und die Funktionen, die Verallgemeinerungen anderer orthogonaler Polynome sind, können mittels der hypergeometrischen Funktion ausgedrückt werden. Vollständige elliptische Integrale können auch mittels der Funktion ausgedrückt werden.

Die Riemannsche P-Funktion, die Lösungen der Riemannschen Differentialgleichung ergibt, ist ebenfalls eine -Funktion.

Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion oder Barnessche erweiterte hypergeometrische Funktion HypergeometricPFQ[, ... , , , ... , , z] hat die Reihenentwicklung .

Die Meijer G Funktion MeijerG[,...,, ,...,, ,...,, ,...,, z] ist definiert durch die Weg-Integral-Darstellung , wobei der Integrationsweg zwischen den Polen von und den Polen von liegt. MeijerG ist eine sehr allgemeine Funktion, deren Spezialfälle die meisten der in den vorigen Abschnitten behandelten Funktionen abdecken.

Die Appellsche hypergeometrische Funktion zweier Variablen AppellF1[a, , , c, x, y] hat die Reihenentwicklung . Diese Funktion tritt zum Beispiel bei der Integration kubischer Polynome in beliebiger Potenz auf.

Die Produkt-Logarithmus-Funktion

Die Produkt-Log-Funktion

Die Produkt-Logarithmus-Funktion ist die Lösung für in . Diese Funktion kann als Verallgemeinerung eines Logarithmus angesehen werden. Mit ihr läßt sich eine Vielzahl der Lösungen transzendenter Gleichungen darstellen. Die Verzweigungsfunktion für das Zählen von bestimmt ausgerichteten Baumdiagrammen ist mit dem Produkt-Logarithmus durch . verwandt.

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