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Spezielle FunktionenMathieusche und verwandte Funktionen

3.2.11 Elliptische Integrale und elliptische Funktionen

Sie sollten sehr viel Sorgfalt bei der Angabe von Argumenten elliptischer Integrale und elliptischer Funktionen in Mathematica walten lassen. Mehrere sich widersprechende Konventionen werden in der Mathematik verwendet, und häufig unterscheiden sich diese Konventionen nur durch die jeweiligen Namen der Argumente oder durch andere Trennzeichen zwischen den Argumenten als Kommata.

Häufige Argument-Konventionen für elliptische Integrale und elliptische Funktionen

Wandlung zwischen verschiedenen Argument-Konventionen

Elliptische Integrale

Elliptische Integrale

Integrale der Form , wobei eine rationale Funktion und ein Polynom dritten oder vierten Grades in ist, heißen elliptische Integrale. Jedes elliptische Integral kann durch die drei Standardarten der Legendre-Jacobischen elliptischen Integrale ausgedrückt werden.

Das elliptische Integral erster Art EllipticF[, m] ist für durch gegeben. Dieses elliptische Integral taucht bei der Lösung der Bewegungsgleichungen für ein einfaches Pendel auf. Es ist manchmal auch unter dem Namen unvollständiges elliptisches Integral erster Art bekannt.

Beachten Sie, daß die Argumente der elliptischen Integrale manchmal in umgekehrter Reihenfolge als in Mathematica angegeben werden.

Das vollständige elliptische Integral erster Art EllipticK[m] wird durch gegeben. Zu beachten ist, daß mit das vollständige elliptische Integral erster Art bezeichnet wird, während für die unvollständige Form benutzt wird. Bei vielen Anwendungen wird der Parameter nicht explizit angegeben, und statt wird einfach geschrieben. Das komplementäre vollständige elliptische Integral erster Art wird durch gegeben. Es wird oft geschrieben. und geben die „reellen" und „imaginären" Viertelperioden der entsprechenden Jacobischen elliptischen Funktionen an, die weiter unten besprochen werden.

Das elliptische Integral zweiter Art EllipticE[, m] wird für durch gegeben.

Das vollständige elliptische Integral zweiter Art EllipticE[m] wird durch gegeben. Es wird oft mit bezeichnet. Die komplementäre Form ist .

Die Jacobische Zetafunktion JacobiZeta[phi, m] wird durch gegeben.

Heumans Lambdafunktion wird durch gegeben.

Das elliptische Integral dritter Art EllipticPi[n, , m] wird durch gegeben.

Das vollständige elliptische Integral dritter Art EllipticPi[n, m] wird durch gegeben.

Hier ist ein Diagramm des vollständigen elliptischen Integrals zweiter Art .

In[1]:= Plot[EllipticE[m], {m, 0, 1}]

Out[1]=

Dies ist mit .

In[2]:= EllipticK[Sin[30 Degree]^2] // N

Out[2]=

Die elliptischen Integrale haben in der komplexen Ebene eine komplizierte Struktur.

In[3]:= Plot3D[ Im[EllipticF[px + I py, 2]],
{px, 0.5, 2.5}, {py, -1, 1}, PlotPoints->60 ]

Out[3]=

Elliptische Funktionen

Elliptische und verwandte Funktionen

Integrale rationaler Funktionen, die Quadratwurzeln quadratischer Formen enthalten, können mit inversen trigonometrischen Funktionen ausgedrückt werden. Die trigonometrischen Funktionen können so als Inverse jener Funktionen definiert werden, die durch diese Integrale erhalten werden.

Analog werden die elliptischen Funktionen als Inverse der Funktionen definiert, die durch elliptische Integrale erhalten werden.

Die Amplitude für Jacobische elliptische Funktionen JacobiAmplitude[u, m] ist die Inverse des elliptischen Integrals erster Art. Wenn ist, dann ist . Bei der Arbeit mit Jacobischen elliptischen Funktionen wird das Argument oft weggelassen, so daß als geschrieben wird.

Die Jacobischen elliptischen Funktionen JacobiSN[u, m] und JacobiCN[u, m] werden entsprechend durch und gegeben, wobei ist. Außerdem wird JacobiDN[u, m] durch gegeben.

Es gibt insgesamt zwölf Jacobische elliptische Funktionen JacobiPQ[u, m], zur Benennung werden die Buchstaben P und Q aus der Menge S, C, D und N gewählt. Jede Jacobische elliptische Funktion JacobiPQ[u, m] genügt der Relation , wobei hier ist.

Es gibt viele Beziehungen zwischen den Jacobischen elliptischen Funktionen, ähnlich zu denen zwischen trigonometrischen Funktionen. Im Grenzfall reduzieren sich die Jacobischen elliptischen Funktionen tatsächlich zu trigonometrischen Funktionen. So ist zum Beispiel , , , , und .

Die Schreibweise wird oft für die Integrale benutzt. Diese Integrale können mit den oben definierten Jacobischen Zetafunktionen ausgedrückt werden.

Eine der wichtigsten Eigenschaften von elliptischen Funktionen ist, daß sie doppelt-periodisch bezüglich der komplexen Werte ihrer Argumente sind. Gewöhnliche trigonometrische Funktionen sind einfach-periodisch in dem Sinne, daß für beliebiges ganzzahliges ist. Die elliptischen Funktionen sind doppelt-periodisch, so daß für ein beliebiges Paar ganzer Zahlen und gilt.

Die Jacobischen elliptischen Funktionen usw. sind doppelt-periodisch in der komplexen -Ebene. Ihre Periode umfaßt und , wobei das vollständige elliptische Integral erster Art ist.

Die Wahl von und in der Schreibweise für Jacobische elliptische Funktionen wird einsichtig, wenn man die Funktionswerte für die Viertelperioden und betrachtet.

Dies zeigt zwei vollständige Perioden in jeder Richtung des Absolutbetrages der Jacobischen elliptischen Funktion .

In[1]:= ContourPlot[Abs[JacobiSN[ux + I uy, 1/3]],
{ux, 0, 4 EllipticK[1/3]},
{uy, 0, 4 EllipticK[2/3]},
PlotPoints->40 ]

Out[1]=

In Mathematica sind auch die inversen Jacobischen elliptischen Funktionen InverseJacobiSN[v, m], InverseJacobiCN[v, m] usw. eingebaut. Die inverse Funktion liefert zum Beispiel den Wert von , für den gilt. Die inversen Jacobischen elliptischen Funktionen sind verwandt mit den elliptischen Integralen.

Die vier elliptischen Theta-Funktionen erhält man aus EllipticTheta[a, u, q], wenn a die Werte 1, 2, 3 oder 4 annimmt. Die Funktionen werden definiert durch: , , , . Die Theta-Funktionen werden häufig in der Form angegeben, wobei der Parameter nicht explizit gegeben ist. Die Theta-Funktionen werden mitunter in der Form angegeben, wobei mit durch verknüpft ist. Außerdem wird manchmal durch ersetzt, gegeben durch . Alle Theta-Funktionen genügen einer diffusions-ähnlichen Differentialgleichung .

Die Jacobischen elliptischen Funktionen können durch Quotienten der Theta-Funktionen ausgedrückt werden.

Eine alternative Schreibweise für Theta-Funktionen ist , , , , wobei ist.

Die Nevilleschen Theta-Funktionen können mit den Theta-Funktionen durch , , , , definiert werden, wobei ist. Die Jacobischen elliptischen Funktionen können als Quotienten der Nevilleschen Theta-Funktionen dargestellt werden.

Die Weierstraßsche elliptische Funktion WeierstrassP[u, , ] kann als die Inverse eines elliptischen Integrals angesehen werden. Die Weierstraßsche Funktion ergibt den Wert von , für den ist. Die Funktion WeierstrassPPrime[u, , ] wird durch gegeben.

Die Weierstraßschen Funktionen werden manchmal auch mit ihren fundamentalen Halbperioden und formuliert, die sich aus den Invarianten und mittels WeierstrassHalfPeriods[, ] ergeben.

Die Funktion InverseWeierstrassP[p, , ] ermittelt einen der zwei Werte von , für den gilt. Dieser Wert liegt immer im Parallelogramm, das durch die komplexen Halbperioden und definiert wird.

InverseWeierstrassP[p, q, , ] ermittelt den eindeutigen Wert von , für den und . Damit irgendeiner dieser Werte existiert, muß für und die Beziehung gelten.

Die Weierstraßsche Zeta-Function WeierstrassZeta[u, , ] und die Weierstraßsche Sigma-Function WeierstrassSigma[u, , ] stehen in Zusammenhang mit den Weierstraßschen elliptischen Funktionen durch und .

Die Weierstraßschen Zeta- und Sigma-Funktionen sind, streng genommen, keine elliptischen Funktionen, da sie nicht periodisch sind.

Elliptische Modulfunktionen

Elliptische Modulfunktionen

Die Lambda-Modulfunktion ModularLambda[] verbindet den Quotienten der Halbperioden mit dem Parameter entsprechend .

Die Kleinsche invariante Modulfunktion KleinInvariantJ[] und die Dedekindsche Eta-Funktion DedekindEta[] genügen den Relationen .

Elliptische Modulfunktionen sind so definiert, daß sie invariant unter bestimmten gebrochen-linearen Transformationen ihrer Argumente sind. So ist zum Beispiel invariant unter jeder Kombination der Transformationen und .

Verallgemeinerte elliptische Integrale und Funktionen

Verallgemeinerte elliptische Integrale und Funktionen

Die oben gegebenen Definitionen für elliptische Integrale und Funktionen basieren auf der traditionellen Verwendung. Für die moderne algebraische Geometrie ist es günstiger, etwas allgemeinere Definitionen einzusetzen.

Die Funktion EllipticLog[x, y, a, b] ist als der Wert des Integrals definiert, wobei das Vorzeichen der Quadratwurzel durch den Wert von spezifiziert wird, für den ist. Integrale der Form können mit dem gewöhnlichen Logarithmus (und inversen trigonometrischen Funktionen) ausgedrückt werden. EllipticLog kann als Verallgemeinerung betrachtet werden, wobei das Polynom unter der Quadratwurzel nun dritten Grades ist.

Die Funktion EllipticExp[u, a, b] ist die Inverse von EllipticLog. Sie liefert die Liste x, y, die in EllipticLog erscheint. EllipticExp ist eine elliptische Funktion, die in der komplexen -Ebene doppelt-periodisch ist.

ArithmeticGeometricMean[a, b] liefert den arithmetisch-geometrischen Mittelwert (AGM) zweier Zahlen a und b. Diese Größe ist von zentraler Bedeutung in numerischen Algorithmen zur Berechnung elliptischer Integrale und anderer Funktionen. Die Berechnung des AGM für positive reelle Zahlen und beginnt mit , , iteriert dann die Transformation , , bis in der verlangten Präzision vorliegt.

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