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Mathieusche und verwandte FunktionenStatistische Verteilungen und verwandte Funktionen

3.2.13 Arbeiten mit speziellen Funktionen

Einige der üblichen Operationen für spezielle Funktionen

Die meisten speziellen Funktionen haben einfachere Formen, wenn ihnen bestimmte spezielle Argumente übergeben werden. Mathematica wird spezielle Funktionen in solchen Fällen automatisch vereinfachen.

Mathematica drückt dies automatisch mit üblichen mathematischen Konstanten aus.

In[1]:= PolyLog[2, 1/2]

Out[1]=

Hier reduziert Mathematica wiederum einen Spezialfall der Airy-Funktion in einen Ausdruck mit Gamma-Funktionen.

In[2]:= AiryAi[0]

Out[2]=

Für die meisten konkret gewählten Argumentsätze sind keine exakten Vereinfachungen von speziellen Funktionen möglich. In derartigen Fällen kann Mathematica aber numerische Approximationen beliebig präzise angeben. Die in Mathematica eingebauten Algorithmen decken im Grunde alle Parameterwerte ab—reell oder komplex—für die die speziellen Funktionen definiert sind.

In diesem Fall ist kein exaktes Ergebnis bekannt.

In[3]:= AiryAi[1]

Out[3]=

Dies liefert eine numerische Approximation mit 40 Stellen Präzision.

In[4]:= N[AiryAi[1], 40]

Out[4]=

Das Ergebnis hier ist eine riesige komplexe Zahl, Mathematica kann sie aber immer noch finden.

In[5]:= N[AiryAi[1000 I]]

Out[5]=

Die meisten speziellen Funktionen haben Ableitungen, die sich mit elementaren Funktionen oder anderen speziellen Funktionen ausdrücken lassen. Aber auch in Fällen, wo dies nicht der Fall ist, lassen sich mit N immer noch numerische Approximationen der Ableitungen ermitteln.

Diese Ableitung wird ausgegeben mit elementaren Funktionen.

In[6]:= D[FresnelS[x], x]

Out[6]=

Dies evaluiert die Ableitung der Gamma-Funktion im Punkt 3.

In[7]:= Gamma'[3]

Out[7]=

Es gibt keine exakte Formel für diese Ableitung der Zetafunktion.

In[8]:= Zeta'[Pi]

Out[8]=

Durch Anwendung von N ergibt sich eine numerische Approximation.

In[9]:= N[%]

Out[9]=

Mathematica enthält einen umfassenden Wissensstand über spezielle Funktionen—dazu gehören im Grunde alle Ergebnisse, die in der Vergangenheit gewonnen wurden. Dieses Wissen wird benutzt, wenn man in Mathematica Operationen mit speziellen Funktionen durchführt.

Hier ist eine Reihenentwicklung für eine Fresnel-Funktion.

In[10]:= Series[FresnelS[x], {x, 0, 15}]

Out[10]=

Mathematica kann sehr viele Integrale mit speziellen Funktionen lösen.

In[11]:= Integrate[AiryAi[x]^2, {x, 0, Infinity}]

Out[11]=

Charakteristisch für die Arbeit mit speziellen Funktionen ist, daß es eine große Anzahl Relationen zwischen verschiedenen Funktionen gibt, und diese Relationen können häufig bei der Vereinfachung von Ausdrücken verwendet werden.

Ausdrücke mit speziellen Funktionen vereinfachen

Dies verwendet die Reflexionsformel für die Gamma-Funktion.

In[12]:= FullSimplify[Gamma[x] Gamma[1 - x]]

Out[12]=

Dies verwendet eine Darstellung für Tschebyscheff-Polynome.

In[13]:= FullSimplify[ChebyshevT[n, z] - k Cos[n ArcCos[z]]]

Out[13]=

Die Airy-Funktionen sind mit den Bessel-Funktionen verwandt.

In[14]:= FullSimplify[3 AiryAi[1] + Sqrt[3] AiryBi[1]]

Out[14]=

Ausdrücke mit speziellen Funktionen manipulieren

Dies entwickelt PolyGamma und liefert eine Funktion mit einem einfacheren Argument.

In[15]:= FunctionExpand[PolyGamma[2, 2 + x]]

Out[15]=

Hier ist ein Beispiel mit Bessel- Funktionen.

In[16]:= FunctionExpand[BesselY[n, I x]]

Out[16]=

In diesem Fall ist PolyGamma im Endergebnis gar nicht mehr enthalten.

In[17]:= FunctionExpand[Im[PolyGamma[0, 3 I]]]

Out[17]=

Dies bestimmt einen Ausdruck für die zweite Ableitung der Zetafunktion bei Null.

In[18]:= FunctionExpand[Zeta''[0]]

Out[18]=

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