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Arbeiten mit speziellen FunktionenInhalt

3.2.14 Statistische Verteilungen und verwandte Funktionen

Mathematica enthält Standard-Pakete für die Evaluierung von Funktionen der üblichen statistischen Verteilungen. Die statistischen Verteilungen selbst werden in Mathematica in der symbolischen Form name[, , ... ] dargestellt, wobei die Parameter der Verteilungen sind. Funktionen wie Mean, die Eigenschaften von statistischen Verteilungen liefern, haben die symbolische Darstellung der Verteilung als Argument.

Statistische Verteilungen aus dem Paket Statistics`ContinuousDistributions`

Die meisten der stetigen statistischen Verteilungen, die gewöhnlich benutzt werden, sind von der Normal- oder Gaußverteilung NormalDistribution[, ] abgeleitet. Diese Verteilung hat die Wahrscheinlichkeitsdichte . Für eine Zufallsvariable mit einer beliebigen Verteilung mit beschränkter Varianz besagt der zentrale Grenzwertsatz, daß der Mittelwert einer großen Anzahl dieser Variablen stets zu einer Normalverteilung konvergiert.

Die logarithmische Normalverteilung oder Lognormalverteilung LogNormalDistribution[, ] ist die Verteilung einer Variablen, deren Logarithmus einer Normalverteilung folgt. Diese Verteilung tritt auf, wenn viele unabhängige Zufallsvariablen multiplikativ kombiniert werden.

Die Chi-Quadrat-Verteilung ChiSquareDistribution[n] ist die Verteilung der Größen , wobei die Zufallsvariablen sind, die einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der Varianz 1 folgen. Die Chi-Quadrat-Verteilung liefert die Verteilung der Varianzen von Stichproben aus einer Normalverteilung.

Die Studentsche t-Verteilung StudentTDistribution[n] ist die Verteilung des Quotienten einer normalverteilten Variablen mit der Quadratwurzel einer Variablen, die eine Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden hat. Die -Verteilung bewertet die Unbestimmtheit für den Mittelwert, wenn sowohl der Mittelwert als auch die Varianz aus Daten berechnet werden.

Die Fishersche F-Verteilung, F-Verteilung oder Varianzquotientenverteilung FRatioDistribution[, ] ist die Verteilung des Verhältnisses zweier Chi-Quadrat-Variablen mit und Freiheitsgraden. Die -Verteilung wird bei der Varianzanalyse für den Vergleich der Varianzen aus verschiedenen Modellen benutzt.

Die Extremwertverteilung ExtremeValueDistribution[, ] ist die Grenzverteilung der kleinsten oder größten Werte in großen Stichproben aus einer Vielfalt von Verteilungen, einschließlich der Normalverteilung.

Funktionen statistischer Verteilungen

Die kumulative Verteilungsfunktion (Abkürzung ist cdf, entsprechend dem englischen cumulative distribution function) CDF[vert, x] ist definiert als das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte für die Verteilung bis zur Stelle . Bei der Normalverteilung wird die cdf gewöhnlich mit bezeichnet. Kumulative Verteilungsfunktionen werden bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für statistische Hypothesen benutzt. Bei diskreten Verteilungen ist die cdf die Summe der Wahrscheinlichkeiten bis zur Stelle . Die cdf wird manchmal einfach die Verteilungsfunktion genannt. Die cdf an einer bestimmten Stelle für eine gegebene Verteilung wird oft mit bezeichnet, wobei die Parameter der Verteilung sind. Der obere Bereich wird mittels der cdf durch beschrieben. So wird zum Beispiel der obere Rand einer Chi-Quadrat-Verteilung mit bezeichnet und durch 1 - CDF[ChiSquareDistribution[nu], chi2] gegeben.

Das Quantil Quantile[vert, q] ist im wesentlichen die Inverse der cdf. Es liefert den Wert von x an dem CDF[vert, x] den Wert q erreicht. Der Median wird durch Quantile[vert, 1/2] gegeben; Quartile, Dezile und Perzentile können auch durch Quantile ausgedrückt werden. Quantile werden zur Konstruktion von Konfidenzintervallen für statistische Parameterschätzungen eingesetzt.

Die charakteristische Funktion CharacteristicFunction[vert, t] wird durch gegeben, wobei die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Verteilung ist. Das -te zentrale Moment einer Verteilung wird durch die -te Ableitung gegeben.

Random[vert] liefert Pseudozufallszahlen mit der spezifizierten Verteilung. Der Startwert (Saatkorn) für die Zahlen wird gesetzt, wie es in Abschnitt 3.2.3 beschrieben wurde.

Dies lädt das Paket, in dem stetige statistische Verteilungen definiert werden.

In[1]:= <<Statistics`ContinuousDistributions`

Dies repräsentiert eine Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der Varianz 1.

In[2]:= ndist = NormalDistribution[0, 1]

Out[2]=

Hier ist ein symbolisches Ergebnis für die kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung.

In[3]:= CDF[ndist, x]

Out[3]=

Dies liefert den Wert von , an dem die cdf der Normalverteilung den Wert erreicht.

In[4]:= Quantile[ndist, 0.9] // N

Out[4]=

Hier ist eine Liste mit fünf normalverteilten Pseudozufallszahlen.

In[5]:= Table[ Random[ndist], {5} ]

Out[5]=

Statistische Verteilungen aus dem Paket Statistics`DiscreteDistributions`

Die meisten der üblichen diskreten statistischen Verteilungen können aus der Betrachtung einer Folge von „Versuchen", jeder mit zwei möglichen Ausgängen—„Treffer" und „Niete"—abgeleitet werden.

Die Bernoullische Verteilung BernoulliDistribution[p] ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der in einem einzelnen Versuch der Treffer, der dem Wert 1 entspricht, die Wahrscheinlichkeit und die Niete, die dem Wert 0 entspricht, die Wahrscheinlichkeit hat.

Die Binomialverteilung BinomialDistribution[n, p] ist die Verteilung der Anzahl der Treffer in unabhängigen Versuchen, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuches ist. Die Verteilung wird durch gegeben.

Die negative Binomialverteilung NegativeBinomialDistribution[r, p] liefert die Verteilung der Anzahl von Nieten, die in einer Folge von Versuchen auftreten, bevor Treffer eingetreten sind, unter der Voraussetzung, daß die Trefferwahrscheinlichkeit in einem einzelnen Versuch ist.

Die geometrische Verteilung GeometricDistribution[p] liefert die Verteilung der Gesamtzahl von Versuchen, bevor der erste Treffer in einer Folge von Versuchen auftritt, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit in jedem einzelnen Versuch ist.

Die hypergeometrische Verteilung HypergeometricDistribution[n, , ] wird anstelle der Binomialverteilung in Experimenten benutzt, bei denen die Versuche wie Entnahmen ohne Zurücklegen aus einer Grundgesamtheit der Größe mit möglichen Treffern sind.

Die diskrete Gleichverteilung DiscreteUniformDistribution[n] repräsentiert ein Experiment mit Ausgängen, die jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.

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