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Ganzzahlige und zahlentheoretische FunktionenElementare transzendente Funktionen

3.2.5 Kombinatorische Funktionen

Kombinatorische Funktionen

Die Fakultäts-Funktion n! liefert die Anzahl der möglichen verschiedenen Anordnungen von Objekten. Für nicht-ganzzahliges erhält man den numerischen Wert von durch die Gamma-Funktion (siehe Abschnitt 3.2.10).

Der Binomialkoeffizient Binomial[n, m] kann als geschrieben werden. Er liefert die Anzahl der Möglichkeiten, Objekte aus einer Gesamtheit von Objekten zu wählen, ohne Berücksichtigung der Anordnung. Die Catalanschen Zahlen, die in verschiedenen Abzählungsproblemen bei Bäumen erscheinen, werden mit Binomialkoeffizienten durch angegeben.

Der Multinomialkoeffizient Multinomial[, , ... ], geschrieben als , liefert die Anzahl der Zerlegungen von verschiedenen Objekten in Mengen der Größe (mit ).

Mathematica liefert das exakte ganzzahlige Ergebnis für die Fakultät einer ganzen Zahl.

In[1]:= 30!

Out[1]=

Für nicht-ganzzahlige Argumente evaluiert Mathematica Fakultäten mit der Gamma-Funktion.

In[2]:= 3.6!

Out[2]=

Mathematica kann symbolische Ergebnisse für einige Binomialkoeffizienten liefern.

In[3]:= Binomial[n, 2]

Out[3]=

Dies ist die Anzahl der Zerlegungen von Objekten in Mengen mit 6 und 5 Objekten.

In[4]:= Multinomial[6, 5]

Out[4]=

Das Ergebnis ist dasselbe wie .

In[5]:= Binomial[11, 6]

Out[5]=

Die Fibonacci-Zahlen Fibonacci[n] genügen der rekursiven Relation mit . Sie treten auf bei vielen diskreten mathematischen Problemen. Für große nähert sich dem Verhältnis des goldenen Schnittes an.

Die Fibonacci-Polynome Fibonacci[n, x] erscheinen als die Koeffizienten von in der Entwicklung von .

Die harmonischen Zahlen HarmonicNumber[n] werden durch definiert; die harmonischen Zahlen der Ordnung HarmonicNumber[n, r] werden durch definiert. Harmonische Zahlen findet man in vielen kombinatorischen Schätzproblemen, sie spielen dabei häufig die Rolle des diskreten Analogons von Logarithmen.

Die Bernoulli-Polynome BernoulliB[n, x] genügen der Relation für die erzeugende Funktion . Die Bernoulli-Zahlen BernoulliB[n] werden durch gegeben. Die erscheinen als Koeffizienten der Terme in der Euler-Maclaurinschen Summationsformel zur Approximation von Integralen.

Numerische Werte für Bernoulli-Zahlen werden in vielen numerischen Algorithmen benötigt. Sie können diese numerischen Werte stets erhalten, indem Sie erst die exakten rationalen Ergebnisse mit BernoulliB[n] bestimmen und dann N anwenden. Die Funktion NBernoulliB[n] liefert den numerischen Wert von direkt. NBernoulliB[n, p] liefert den Wert mit p-stelliger Präzision.

Die Eulerschen Polynome EulerE[n, x] haben die erzeugende Funktion , und die Eulerschen Zahlen EulerE[n] sind durch gegeben. Die Eulerschen Zahlen stehen zu den Genocchi-Zahlen in der Beziehung .

Dies ist das zweite Bernoulli-Polynom .

In[6]:= BernoulliB[2, x]

Out[6]=

Sie können die Bernoulli-Polynome auch durch explizite Berechnung der Potenzreihe für die erzeugende Funktion erhalten.

In[7]:= Series[t Exp[x t]/(Exp[t] - 1), {t, 0, 4}]

Out[7]=

BernoulliB[n] liefert exakte rationale Ergebnisse für Bernoulli-Zahlen.

In[8]:= BernoulliB[20]

Out[8]=

Stirlingsche Zahlen tauchen bei vielen kombinatorischen Abzählungsproblemen auf. Für Stirlingsche Zahlen erster Art StirlingS1[n, m] liefert die Anzahl der Permutationen von Elementen, die exakt Zyklen enthalten. Diese Stirlingschen Zahlen genügen der erzeugenden Funktionalgleichung . Beachten Sie, daß sich einige Definitionen der von der in Mathematica verwendeten um den Faktor unterscheiden.

Stirlingsche Zahlen zweiter Art StirlingS2[n, m] ergeben die Anzahl der Möglichkeiten, eine Menge von Elementen in nichtleere Teilmengen zu zerlegen. Sie genügen der Relation .

Die Zerlegungsfunktion PartitionsP[n] liefert die Anzahl der Möglichkeiten, eine ganze Zahl n ohne Berücksichtigung der Anordnung als eine Summe positiver ganzer Zahlen zu schreiben. PartitionsQ[n] liefert die Anzahl der Möglichkeiten, n als eine Summe positiver ganzer Zahlen zu schreiben, mit der Einschränkung, daß alle ganzen Zahlen in jeder Summe verschieden sind.

Dies liefert eine Tabelle der Stirlingschen Zahlen erster Art.

In[9]:= Table[StirlingS1[5, i], {i, 5}]

Out[9]=

Die Stirlingschen Zahlen erscheinen in diesem Produkt als Koeffizienten.

In[10]:= Expand[Product[x - i, {i, 0, 4}]]

Out[10]=

Dies liefert die Anzahl der Zerlegungen der Zahl 100, einmal mit der Einschränkung, daß die Terme unterschiedlich sein sollen und einmal ohne diese Einschränkung.

In[11]:= {PartitionsQ[100], PartitionsP[100]}

Out[11]=

Die Zerlegungsfunktion wächst asymptotisch wie . Beachten Sie, daß Sie ein Diagramm einer Funktion wie PartitionsP nicht einfach mit Plot erzeugen können, da die Funktion nur mit ganzzahligen Argumenten evaluiert werden kann.

In[12]:= ListPlot[ Table[
N[Log[ PartitionsP[n] ]], {n, 100} ] ]

Out[12]=

Mit den Funktionen in diesem Abschnitt lassen sich verschiedene Arten kombinatorischer Objekte abzählen. Mit Funktionen wie Permutations können Sie stattdessen Listen mit verschiedenen Kombinationen von Elementen erzeugen (siehe Abschnitt 1.8.14).

Die Signatur-Funktion Signature[, , ... ] liefert die Signatur einer Permutation. Sie ist gleich für gerade Permutationen (Komposition einer geraden Anzahl von Transpositionen) und für ungerade Permutationen. Die Signatur-Funktion kann man sich als vollständig antisymmetrischen Tensor, Levi-Civita-Symbol oder Epsilon-Symbol vorstellen.

Rotations-Kopplungskoeffizienten

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten und -j-Symbole treten beim Studium von Drehmomenten in der Quantenmechanik und in anderen Anwendungen der Drehgruppe auf. Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten ClebschGordan[, , , , j, m] liefern die Koeffizienten bei der Entwicklung des quantenmechanischen Drehmomentzustandes in Produkten mit den Zuständen .

Die 3-j-Symbole oder Wigner-Koeffizienten ThreeJSymbol[, , , , , ] sind eine symmetrischere Form der Clebsch-Gordan-Koeffizienten. In Mathematica werden die Clebsch-Gordan-Koeffizienten mit 3-j-Symbolen durch dargestellt.

Die 6-j-Symbole SixJSymbol[, , , , , ] ergeben die Kopplung von drei quantenmechanischen Drehmomentzuständen. Die Racah-Koeffizienten unterscheiden sich von den 6-j-Symbolen durch eine Phase.

In 3-j-Symbolen können Sie symbolische Parameter angeben.

In[13]:= ThreeJSymbol[{j, m}, {j+1/2, -m-1/2}, {1/2, 1/2}]

Out[13]=

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