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Elementare transzendente FunktionenMathematische Konstanten

3.2.7 Funktionen ohne eindeutige Werte

Wenn Sie nach der Quadratwurzel einer Zahl fragen, so fragen Sie im Grunde nach der Lösung der Gleichung . Diese Gleichung hat jedoch im allgemeinen zwei verschiedene Lösungen. Sowohl als auch sind Lösungen der Gleichung . Wenn Sie die „Funktion" auswerten, wollen Sie jedoch normalerweise eine einzige Zahl erhalten, und deshalb müssen Sie eine dieser Lösungen auswählen. Im allgemeinen fordert man, daß für positiv sein soll. Genau daran hält sich auch die Mathematica-Funktion Sqrt[x].

Da eine Auswahl aus zwei Lösungen getroffen werden muß, kann Sqrt[x] keine echte inverse Funktion für x^2 sein. Wenn man eine Zahl nimmt, sie quadriert und dann die Quadratwurzel zieht, so kann dies zu einer anderen als der Ausgangszahl führen.

ergibt , nicht .

In[1]:= Sqrt[4]

Out[1]=

Quadrieren und anschließendes Ziehen der Quadratwurzel führt nicht notwendigerweise zur Ausgangszahl.

In[2]:= Sqrt[(-2)^2]

Out[2]=

Wenn Sie auswerten, gibt es wiederum zwei mögliche Antworten: und . In diesem Fall ist es jedoch nicht ohne weiteres einsichtig, welche gewählt werden soll.

Es gibt tatsächlich keine Möglichkeit, so zu wählen, daß sich eine Funktion ergibt, die für alle komplexen Werte von stetig ist. Man muß vielmehr einen „Verzweigungsschnitt" einführen, eine Gerade in der komplexen Ebene, auf der unstetig ist. Mathematica hält sich an die übliche Übereinkunft, den Verzweigungsschnitt für entlang der negativen reellen Achse zu wählen.

Dies ergibt , nicht .

In[3]:= N[ Sqrt[-2 I] ]

Out[3]=

Der Verzweigungsschnitt in Sqrt entlang der negativen reellen Achse führt dazu, daß Werte von Sqrt[z] für z, die etwas über und solche, die etwas unterhalb der Achse liegen, sehr verschieden sind.

In[4]:= {Sqrt[-2 + 0.1 I], Sqrt[-2 - 0.1 I]}

Out[4]=

Die quadrierten Werte liegen jedoch sehr dicht beieinander.

In[5]:= %^2

Out[5]=

In diesem dreidimensionalen Bild des imaginären Teils der Quadratwurzelfunktion wird die Unstetigkeit entlang der negativen reellen Achse recht deutlich.

In[6]:= Plot3D[ Im[Sqrt[x + I y]], {x, -4, 4}, {y, -4, 4} ]

Out[6]=

Wenn Sie mit eine -te Wurzel ziehen, dann gibt es im allgemeinen mögliche Ergebnisse. Um einen einzigen Wert zu erhalten, müssen Sie eine spezielle Hauptwurzel wählen. Es besteht keineswegs die Garantie, daß die -te Wurzel einer -ten Potenz zur selben Zahl zurückführt.

Dies erhebt eine komplexe Zahl in die zehnte Potenz. Das Ergebnis ist eindeutig.

In[7]:= (2.5 + I)^10

Out[7]=

Es gibt zehn mögliche Wurzeln. Mathematica wählt eine aus. In diesem Fall ist es nicht die Zahl, die Sie in die zehnte Potenz erhoben haben.

In[8]:= %^(1/10)

Out[8]=

Viele mathematische Funktionen liefern, so wie die Wurzelfunktion, Lösungen von Gleichungen. Die Logarithmusfunktion und inverse trigonometrische Funktionen sind Beispiele dafür. In fast allen Fällen gibt es viele mögliche Lösungen für die Gleichungen. Dennoch müssen „Hauptwerte" für die Funktionen gewählt werden. Die Auswahl kann nicht stetig auf der ganzen komplexen Ebene getroffen werden. Es müssen vielmehr Unstetigkeitslinien oder Verzweigungsschnitte auftreten. Die Lagen dieser Verzweigungsschnitte sind häufig recht willkürlich. Mathematica wählt sie auf die mathematisch gebräuchlichste Weise.

Einige Unstetigkeiten an Verzweigungsschnitten in der komplexen Ebene

ArcSin ist eine mehrwertige Funktion, so daß nicht garantiert ist, daß sie stets die „Inverse" von Sin ergibt.

In[9]:= ArcSin[Sin[4.5]]

Out[9]=

Die Werte von ArcSin[z] auf entgegengesetzten Seiten des Verzweigungsschnittes können sehr unterschiedlich sein.

In[10]:= {ArcSin[2 + 0.1 I], ArcSin[2 - 0.1 I]}

Out[10]=

Ein dreidimensionales Bild, das die beiden Verzweigungsschnitte der Funktion zeigt.

In[11]:= Plot3D[ Im[ArcSin[x + I y]], {x, -4, 4}, {y, -4, 4}]

Out[11]=

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