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Mathematische KonstantenSpezielle Funktionen

3.2.9 Orthogonale Polynome

Orthogonale Polynome

Die Legendre-Polynome LegendreP[n, x] treten beim Studium von Systemen mit dreidimensionaler sphärischer Symmetrie auf. Sie genügen der Differentialgleichung , und der Orthogonalitätsrelation für .

Die zugeordneten Legendre-Polynome LegendreP[n, m, x] erhält man aus den Ableitungen der Legendre-Polynome gemäß . Beachten Sie, daß für ungerade ganze Zahlen die Potenzen von enthalten und deshalb keine echten Polynome sind. Für gehen die in über.

Die räumlichen Kugelfunktionen SphericalHarmonicY[l, m, , ] stehen in Beziehung zu den zugeordneten Legendre-Funktionen. Sie genügen der Orthogonalitätsrelation für oder , wobei die Integration über die Oberfläche der Einheitskugel repräsentiert.

Dies liefert die algebraische Form des Legendre-Polynoms .

In[1]:= LegendreP[8, x]

Out[1]=

Das Integral ergibt wegen der Orthogonalität der Legendre-Polynome Null.

In[2]:= Integrate[LegendreP[7,x] LegendreP[8,x], {x, -1, 1}]

Out[2]=

Die Integration des Quadrats eines einzelnen Legendre-Polynoms ergibt ein von Null verschiedenes Ergebnis.

In[3]:= Integrate[LegendreP[8, x]^2, {x, -1, 1}]

Out[3]=

Legendre-Polynome höheren Grades oszillieren schnell.

In[4]:= Plot[LegendreP[10, x], {x, -1, 1}]

Out[4]=

Die zugeordneten Legendre-„Polynome" enthalten Bestandteile, die proportional zu sind.

In[5]:= LegendreP[8, 3, x]

Out[5]=

In Abschnitt 3.2.10 wird die Verallgemeinerung der Legendre-Polynome zu Legendre-Funktionen beschrieben, die von nicht-ganzzahligem Grad sein können.

In[6]:= LegendreP[8.1, 0]

Out[6]=

Die Gegenbauer-Polynome GegenbauerC[n, m, x] können als Verallgemeinerungen der Legendre-Polynome zu Systemen mit -dimensionaler sphärischer Symmetrie betrachtet werden. Manchmal sind sie unter dem Namen ultrasphärische Polynome bekannt.

GegenbauerC[n, 0, x] ist immer gleich Null. GegenbauerC[n, x] ist jedoch darstellbar durch den Grenzwert von . Diese Form wird mitunter als bezeichnet.

Reihen mit Tschebyscheff-Polynomen werden oft für numerische Approximationen von Funktionen benutzt. Die Tschebyscheff-Polynome erster Art ChebyshevT[n, x] sind durch definiert. Sie sind normiert, so daß . Sie genügen der Orthogonalitätsrelation für . Die genügen ebenfalls einer Orthogonalitätsrelation bei der Summation an diskreten Stellen , die den Wurzeln der entsprechen.

Die Tschebyscheff-Polynome zweiter Art ChebyshevU[n, z] sind durch definiert. Mit dieser Definition gilt . Die genügen der Orthogonalitätsrelation für .

Der Name „Chebyshev" ist die im Englischen übliche Transliteration aus dem kyrillischen Alphabet, mehrere andere Transliterationen wie zum Beispiel „Tschebyscheff" werden mitunter auch benutzt.

Die Hermiteschen Polynome HermiteH[n, x] erscheinen als die quantenmechanischen Wellenfunktionen für einen harmonischen Oszillator. Sie genügen der Differentialgleichung und der Orthogonalitätsrelation für . Eine alternative Form der Hermiteschen Polynome, die manchmal benutzt wird, ist (manchmal wird auch eine andere Gesamtnormalisierung der benutzt).

Die Hermiteschen Polynome stehen durch Beziehung zu den parabolischen Zylinderfunktionen oder Weber-Funktionen .

Dies liefert die Dichte eines angeregten Zustands eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Der Durchschnitt der Windungen entspricht grob dem klassischen physikalischen Ergebnis.

In[7]:= Plot[(HermiteH[6, x] Exp[-x^2/2])^2, {x, -6, 6}]

Out[7]=

Die verallgemeinerten Laguerreschen Polynome LaguerreL[n, a, x] sind mit den Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms in der Quantenmechanik verwandt. Sie genügen der Differentialgleichung und der Orthogonalitätsrelation für . Die Laguerreschen Polynome LaguerreL[n, x] entsprechen dem Spezialfall .

Die Jacobischen Polynome JacobiP[n, a, b, x] treten beim Studium der Drehgruppe auf, besonders in der Quantenmechanik. Sie genügen der Orthogonalitätsrelation für . Legendre-, Gegenbauer- und Tschebyscheff-Polynome können alle als Spezialfälle von Jacobischen Polynomen betrachtet werden. Die Jacobischen Polynome werden manchmal in der alternativen Form angegeben.

Sie können Ausdrücke für verallgemeinerte Laguerresche Polynome mit beliebigen Werten für a erhalten.

In[8]:= LaguerreL[2, a, x]

Out[8]=

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