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InhaltBestimmung der Struktur eines Polynoms

3.3.1 Strukturelle Operationen auf Polynomen

Strukturelle Operationen auf Polynomen

Hier ist ein Polynom in einer Variablen.

In[1]:= (2 + 4 x^2)^2 (x - 1)^3

Out[1]=

Expand multipliziert Produkte und Potenzen aus und schreibt dabei das Polynom als eine einfache Summe von Termen.

In[2]:= t = Expand[ % ]

Out[2]=

Factor führt eine vollständige Faktorisierung des Polynoms durch.

In[3]:= Factor[ t ]

Out[3]=

FactorTerms zieht den numerischen Gesamtfaktor aus t heraus.

In[4]:= FactorTerms[ t ]

Out[4]=

Jedes Polynom läßt sich auf mehrere Weisen schreiben. Die Funktionen Expand, FactorTerms und Factor geben drei übliche Möglichkeiten an. Expand schreibt ein Polynom als eine einfache Summe von Termen, bei der alle Produkte ausmultipliziert sind. FactorTerms zieht gemeinsame Faktoren aus jedem Term heraus. Factor führt eine vollständige Faktorzerlegung durch und schreibt das Polynom als Produkt von Termen mit kleinstmöglichem Grad.

Ein Polynom in mehr als einer Variablen läßt sich in verschiedene Formen bringen, indem man im wesentlichen verschiedene Variablen als „dominant" wählt. Collect[poly, x] akzeptiert als Argument ein Polynom in mehreren Variablen und schreibt es als Summe von Termen, die verschiedene Potenzen der „dominanten Variablen" x enthalten.

Hier ist ein Polynom in zwei Variablen.

In[5]:= Expand[ (1 + 2x + y)^3 ]

Out[5]=

Collect stellt das Polynom so um, daß x die „dominante Variable" ist.

In[6]:= Collect[ %, x ]

Out[6]=

Wenn Sie eine Liste von Variablen spezifizieren, wird Collect den Ausdruck im Grunde als Polynom in diesen Variablen schreiben.

In[7]:= Collect[ Expand[ (1 + x + 2y + 3z)^3 ], {x, y} ]

Out[7]=

Steuerung der Polynomentwicklung

Dadurch werden Teile nicht ausmultipliziert, die kein x enthalten.

In[8]:= Expand[(x + 1)^2 (y + 1)^2, x]

Out[8]=

Dadurch werden Teile nicht ausmultipliziert, die keine zu b[_] passenden Objekte enthalten.

In[9]:= Expand[(a[1] + a[2] + 1)^2 (1 + b[1])^2, b[_]]

Out[9]=

Entwickeln von Potenzen

Mathematica entwickelt (multipliziert) Ausdrücke der Form (a b)^c nicht automatisch, es sei denn, daß c eine ganze Zahl ist. Im allgemeinen ist diese Entwicklung nur korrekt, wenn a und b positive reelle Zahlen sind. Trotzdem führt die Funktion PowerExpand diese Entwicklung durch und nimmt dabei im Grunde an, daß a und b tatsächlich positive reelle Zahlen sind.

Mathematica entwickelt diesen Ausdruck nicht automatisch.

In[10]:= (x y)^n

Out[10]=

PowerExpand führt die Entwicklung durch und nimmt dabei im Grunde an, daß x und y positive reelle Zahlen sind.

In[11]:= PowerExpand[%]

Out[11]=

Log wird nicht automatisch entwickelt.

In[12]:= Log[%]

Out[12]=

PowerExpand führt die Entwicklung durch.

In[13]:= PowerExpand[%]

Out[13]=

Methoden zur Zusammenfassung von Termen

Hier ist ein Ausdruck mit diversen Funktionswerten von f.

In[14]:= t = 3 + x f[1] + x^2 f[1] + y f[2]^2 + z f[2]^2

Out[14]=

Hier werden Terme gesammelt, die mit f[_] übereinstimmen.

In[15]:= Collect[t, f[_]]

Out[15]=

Hier wird schließlich noch Factor auf jeden erhaltenen Koeffizienten angewendet.

In[16]:= Collect[t, f[_], Factor]

Out[16]=

InhaltBestimmung der Struktur eines Polynoms