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Polynome modulo PrimzahlenTrigonometrische Ausdrücke

3.3.6 Fortgeschrittenes Thema: Polynome über algebraischem Zahlenkörper

Funktionen wie Factor nehmen gewöhnlich an, daß alle Koeffizienten in den Polynomen, die sie produzieren, nur rationale Zahlen sind. Durch Einstellen der Option Extension läßt sich der erlaubte Bereich der Koeffizienten erweitern.

Faktorisierung von Polynomen über algebraischem Zahlenkörper

Sind nur Koeffizienten erlaubt, die rationale Zahlen sind, so läßt sich dieses Polynom nicht faktorisieren.

In[1]:= Factor[1 + x^4]

Out[1]=

Mit Koeffzienten, die enthalten, läßt sich das Polynom jetzt faktorisieren.

In[2]:= Factor[1 + x^4, Extension -> {Sqrt[2]}]

Out[2]=

Das Polynom kann jetzt auch faktorisiert werden, wenn Koeffizienten, die enthalten, erlaubt sind.

In[3]:= Factor[1 + x^4, Extension -> {Sqrt[-1]}]

Out[3]=

GaussianIntegers->True ist äquivalent zu Extension->Sqrt[-1].

In[4]:= Factor[1 + x^4, GaussianIntegers -> True]

Out[4]=

Wenn Koeffizienten, die sowohl als auch enthalten, zugelassen werden, kann das Polynom vollständig faktorisiert werden.

In[5]:= Factor[1 + x^4, Extension -> {Sqrt[2], Sqrt[-1]}]

Out[5]=

Expand liefert wieder das ursprüngliche Polynom.

In[6]:= Expand[%]

Out[6]=

Faktorisierung von Polynomen, deren Koeffizienten algebraische Zahlen sind

Hier ist ein Polynom, dessen einer Koeffizient enthält.

In[7]:= t = Expand[(Sqrt[2] + x)^2]

Out[7]=

In der Voreinstellung wird Factor dieses Polynom nicht faktorisieren.

In[8]:= Factor[t]

Out[8]=

Aber nun ist der Koeffizientenkörper durch Hinzunahme von erweitert worden, und das Polynom wird faktorisiert.

In[9]:= Factor[t, Extension -> Automatic]

Out[9]=

Andere Polynomfunktionen funktionieren ähnlich wie Factor. In der Voreinstellung behandeln sie Koeffizienten, die algebraische Zahlen sind, wie unabhängige symbolische Variablen. Mit der Option Extension->Automatic führen sie jedoch Operationen auf diesen Koeffizienten aus.

In der Voreinstellung reduziert Cancel diese Polynome nicht.

In[10]:= Cancel[t / (x^2 - 2)]

Out[10]=

Aber jetzt geht es.

In[11]:= Cancel[t / (x^2 - 2), Extension->Automatic]

Out[11]=

In der Voreinstellung zieht PolynomialLCM keine gemeinsamen Faktoren heraus.

In[12]:= PolynomialLCM[t, x^2 - 2]

Out[12]=

Aber jetzt geht es.

In[13]:= PolynomialLCM[t, x^2 - 2, Extension->Automatic]

Out[13]=

Polynome modulo PrimzahlenTrigonometrische Ausdrücke