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InhaltGleichungen einer Variablen

3.4.1 Die Darstellung von Gleichungen und Lösungen

Mathematica behandelt Gleichungen als logische Aussagen. Wenn Sie eine Gleichung wie x^2 + 3x == 2 eintippen, interpretiert Mathematica sie als eine logische Aussage, die behauptet, daß x^2 + 3x gleich 2 ist. Wenn Sie x einen expliziten Wert zugewiesen haben, beispielsweise x = 4, dann ist Mathematica in der Lage, explizit festzustellen, daß die logische Aussage x^2 + 3x == 2 den Wert False hat.

Wenn Sie x jedoch keinen expliziten Wert zugewiesen haben, kann Mathematica nicht berechnen, ob x^2 + 3x == 2 True oder False ist. Folglich beläßt es die Gleichung in der symbolischen Form x^2 + 3x == 2.

Sie können symbolische Gleichungen in Mathematica auf vielfache Weise manipulieren. Häufig ist es das Ziel, die Gleichungen so umzustellen, daß sich die „Lösung" für einen bestimmten Satz von Variablen ergibt.

Hier ist eine symbolische Gleichung.

In[1]:= x^2 + 3x == 2

Out[1]=

Mit der Funktion Roots können Sie die Gleichung so umstellen, daß sich „Lösungen" für x ergeben. Das Ergebnis kann genauso wie die ursprüngliche Gleichung als logische Aussage betrachtet werden.

In[2]:= Roots[%, x]

Out[2]=

Die quadratische Gleichung x^2 + 3x == 2 kann als implizite Aussage für den Wert von x verstanden werden. Wie im obigen Beispiel gezeigt wurde, können Sie mit der Funktion Roots eine explizite Aussage für den Wert von x erhalten. Der von Roots erzeugte Ausdruck hat die Form x == || x == . Dieser Ausdruck ist wieder eine logische Aussage, die behauptet, daß entweder x gleich  oder x gleich  ist. Die Werte von x, die mit dieser Aussage verträglich sind, stimmen exakt mit denen überein, die mit der ursprünglichen quadratischen Gleichung verträglich sind. Für viele Zwecke ist jedoch die Form, die von Roots geliefert wird, viel nützlicher als die ursprüngliche Gleichung.

Gleichungen lassen sich genauso wie andere logische Aussagen kombinieren und manipulieren. Mit logischen Verknüpfungszeichen wie || und && können alternative oder konjunktive Bedingungen angegeben werden. Mit Funktionen wie LogicalExpand können Sie Gleichungssysteme vereinfachen.

Für viele Zwecke werden Sie es vorteilhaft finden, Gleichungen einfach als logische Aussagen zu manipulieren. Manchmal werden Sie jedoch wirklich explizite Lösungen für Gleichungen in anderen Berechnungen benutzen wollen. In solchen Fällen ist es zweckmäßig, Gleichungen, die in der Form ls == rs aufgestellt wurden, in Transformationsregeln der Form ls -> rs zu konvertieren. Sobald die Lösungen einer Gleichung in der Form expliziter Transformationsregeln vorliegen, können Sie mit dem Operator /. die Lösungen in Ausdrücke einsetzen.

Roots erzeugt eine logische Aussage für die Werte von x, die den Wurzeln der quadratischen Gleichung entsprechen.

In[3]:= Roots[ x^2 + 3x == 2, x ]

Out[3]=

ToRules konvertiert die logische Aussage in eine explizite Liste von Transformationsregeln.

In[4]:= {ToRules[ % ]}

Out[4]=

Jetzt können Sie mit den Transformationsregeln die Lösungen für x in Ausdrücke einsetzen, die x enthalten.

In[5]:= x^2 + a x /. %

Out[5]=

Die Funktion Solve erzeugt direkt Transformationsregeln für Lösungen.

In[6]:= Solve[ x^2 + 3x == 2, x ]

Out[6]=

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