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Lösen von Gleichungen mit NebenbedingungenFortgeschrittenes Thema: Gleichungen modulo ganzer Zahlen

3.4.10 Fortgeschrittenes Thema: Lösen logischer Kombinationen von Gleichungen

Wird Solve eine Liste mit Gleichungen übergeben, so nimmt es an, daß alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein sollen. Es ist auch möglich, Solve kompliziertere logische Kombinationen von Gleichungen zu übergeben.

Solve setzt voraus, daß die Gleichungen x + y == 1 und x - y == 2 gleichzeitig gelten.

In[1]:= Solve[{x + y == 1, x - y == 2}, {x, y}]

Out[1]=

Hier ist eine alternative Form, die explizit die logische Verknüpfung && verwendet.

In[2]:= Solve[ x + y == 1 && x - y == 2, {x, y}]

Out[2]=

Dies spezifiziert, daß entweder x + y == 1 oder x - y == 2 ist. Solve liefert zwei Lösungen für x, die diesen beiden Möglichkeiten entsprechen.

In[3]:= Solve[ x + y == 1 || x - y == 2, x ]

Out[3]=

Solve liefert drei Lösungen für diese Gleichung.

In[4]:= Solve[x^3 == x, x]

Out[4]=

Wenn Sie explizit die Behauptung x != 0 mit aufnehmen, wird eine der vorigen Lösungen unterdrückt.

In[5]:= Solve[x^3 == x && x != 0, x]

Out[5]=

Hier ist ein etwas komplizierteres Beispiel. Beachten Sie, daß die Priorität von || niedriger als die Priorität von && ist, so daß die Gleichung als (x^3 == x && x != 1) || x^2 == 2 und nicht als x^3 == x && (x != 1 || x^2 == 2) interpretiert wird.

In[6]:= Solve[x^3 == x && x != 1 || x^2 == 2 , x]

Out[6]=

Wenn Sie Solve verwenden, haben die Endergebnisse, die Sie erhalten, die Form von Transformationsregeln. Wenn Sie aber Reduce oder Eliminate verwenden, sind Ihre Ergebnisse logische Aussagen, die weiter manipuliert werden können.

Dies ergibt eine logische Aussage, die die Lösungen der Gleichung x^2 == x repräsentiert.

In[7]:= Reduce[x^2 == x, x]

Out[7]=

Dies bestimmt Werte für x, die die Gleichung x^5 == x erfüllen, aber nicht der Aussage genügen, die die Lösungen von x^2 == x repräsentiert.

In[8]:= Reduce[x^5 == x && !%, x]

Out[8]=

Die logischen Aussagen, die durch Reduce erzeugt werden, können als Darstellungen der Lösungsmenge Ihrer Gleichungen angesehen werden. Den logischen Verknüpfungszeichen &&, || usw. entsprechen dann Operationen auf diesen Mengen.

Operationen auf Lösungsmengen

Beim Umgang mit Gleichungssystemen ist es üblich, einige der vorkommenden Objekte als wirkliche „Variablen" und andere als „Parameter" zu betrachten. In einigen Fällen müssen Sie möglicherweise wissen, für welche Werte der Parameter eine bestimmte Relation zwischen den Variablen immer erfüllt wird.

Lösen von Gleichungen nach den Parametern, bei denen die Relationen immer wahr werden

Dies findet die Werte von a, b und c, für die die Relation x + y == 1 impliziert, daß a x^2 + b x y + c y^2 == 1 für alle x und y gilt.

In[9]:= SolveAlways[
Implies[ x + y == 1, a x^2 + b x y + c y^2 == 1 ] ,
{ x, y } ]

Out[9]=

Lösen von Gleichungen mit NebenbedingungenFortgeschrittenes Thema: Gleichungen modulo ganzer Zahlen